（全国通用）2019届高考数学大一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积学案.doc

§ 平面向量的数量积
最新考纲
考情考向分析
.
.
,会进行平面向量数量积的运算.
,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题,考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、、填空题的形式考查,偶尔会在解答题中出现,属于中档题.

已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是[0,π].

定义
设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积,记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影,
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积

设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)
(1)e·a=a·e=|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b=0.
(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;
当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
特别地,a·a=|a|2或|a|=.
(4)cos θ=.
(5)|a·b|≤|a||b|.

(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.

设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到
(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离|AB|=||=.
(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
(4)若a,b都是非零向量,θ是a与b的夹角,则cos θ== .
知识拓展
,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;
两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.

(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.
(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.
题组一思考辨析
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( √)
(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √)
(3)由a·b=0可得a=0或b=0.( × )
(4)(a·b)c=a(b·c).( × )
(5)两个向量的夹角的范围是.( × )
(6)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( × )
题组二教材改编
2.[P105例4]已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=________.
答案 12
解析∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),
由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,
∴10+2-k=0,解得k=12.
3.[P106T3]已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为________.
答案-2
解析由数量积的定义知,b在a方向上的投影为
|b|cos θ=4×cos 120°=-2.
题组三易错自纠
=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于________.
答案
解析 a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则m=-,
所以a·b=-1×+2×1=.
(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影为________.
答案
解析=(2,1),=(5,5),
由定义知,在方向上的投影为
==.
△ABC的三边长均为1,且=c,=a,=b,则a·b+b·c+a·c=________.
答案-
解析∵〈a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉=120°,|a|=|b|=|c|=1,
∴a·b=b·c=a·c=1×1×cos 120°=-,
∴a·