线性代数电子教案 5.1和5.2 二次型与对称矩阵.ppt

§ 二次型与对称矩阵
一、二次型的矩阵表示
1、二次型定义
令
其中
A是一个n阶对称矩阵
则二次型的矩阵形式为
A称为二次型矩阵,A的秩称为二次型的秩.
说明:
(1)、二次型的矩阵都是对称矩阵;
(2)、二次型和它的矩阵是相互唯一决定的(一一对应);
例1
解
0
2
0
½
½
½
½
例2
解不是对称故应展开再求
故二次型矩阵为
2、变量的线性变换
定义
关系式
令
则线性变换的矩阵形式为
X = CY
说明
(1)、线性变换把二次型变成新二次型.
是非退化(或可逆)的,此时
(2)、如果系数矩阵C可逆,即|C|0,则称线性变换X = CY
新二次型矩阵
(3)、非退化线性变换不改变二次型的秩.
变换前后两个二次型矩阵的关系
3、矩阵的合同
合同是等价关系,具有反身性、对称性、传递性。
结论
(1)、二次型经过非退化线性变换后,所得到的二次型矩阵
与原二次型矩阵是合同的.
(2)、合同矩阵有相同的秩.
§、化二次型为标准形
此形状称为f的标准形.
标准形的矩阵为对角矩阵
标准形的秩等于d1, …, d n中非0元素的个数.
1、定义
2、主要结果
(1)、任何一个二次型都可以通过非退化的线性变换变成
标准形.
(2)、任何一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
3、计算方法
(1)配方法
例2
关键是找可逆C
关键找非退化的线性变换
解
把含有x1各项集中在一起
把含有x1各项配完全平方
把含有x2各项集中在一起,再配平方