吉林省长春市东北师大附中2024届高三上学期第三次摸底考试数学试题含.pdf

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原点对称,则选项A,B符合,f?x?xk?2x2?x?若k为正奇数,因为???,则f?(x)?kxk?1(2x?2?x)?xk(2xln2?2?xln2),当x?0时,f?(x)?0,所以函数f(x)在(0,??)上单f?x?xk?2x2?x?调递增,又因为函数???为奇函数,所以函数f(x)在(??,0)上单调递增,选项B符合;1f?x?xk?2x2?x??2x2?x???若k为负奇数,函数??????的定义域为x∣x?0,x?k2x?2?x不妨取k??1,则f?x??,当x?0?时,f(x)???;x:..22?1121x?时,f()??32x?1f(1)?2;当;当时,22122117x?2f(2)?2;当x?3时,f(3)?2?f(2);当时,824当x趋向于正无穷时,因为指数函数的增长速率比幂函数的快,所以f(x)趋向于正无穷;?0,???f?x?所以内先减后增,:ABC.?2???π??π?(x)?cos?x?(??0)?π,f(x)?,0??在??上单调,且的图象关于点??对称,则3?2?3????()(x)的最小正周期为4π?2???10???f?????9??9?(x)?5f(x)?4[0,?]上有且仅有一个零点在【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的单调性和对称性列式求出?,再根据最小正周期公式可判断A;根据解析式计算可判断B;利用图象变换和余弦函数的奇偶性可判断C,利用余弦函数的图象可判断D.?2???π?f(x)?cos?x?(??0)?π,【详解】因为函数??在??上单调,?3??2?Tπ3ππ3π2f(x)T??(?π)??0???所以的最小正周期满足,即,?23?π?f(x)?,0因为的图象关于点??对称,?3?π2ππ1?????kπ,k?Z,得???3k,k?Z,所以3322121110????3k?,得??k?,因为k?Z,所以k?0,??(x)?cos(x?).23:..2πT??4π对于A,f(x)的最小正周期为1,故A正确;22π12π2π7π2πf()?cos(??)?cos??cos对于B,,92939910π110π2π11π2πf()?cos(??)?cos??cos,929399?2???10??f?f所以????,故B不正确;99????4π14π2π1对于C,将f(x)的图象向右平移个单位长度后对应的函数为g(x)?cos[(x?)?]?cosx为32332偶函数,故C正确;12π12π4对于D,y?5f(x)?4?5cos(x?)?4,令y?0,得cos(x?)??,2323512π2π7π令t?x?,由0?x?π,得?t?,2336?2π7π?4y?cost?t?y??的图象如图:作出函数??与直线?36?5?2π7π?4y?cost?t?y??的图象有且只有一个交点,由图可知,函数??与直线?36?5所以函数y?5f(x)?4在[0,?]上有且仅有一个零点,:,在正方体ABCD?ABCD中,点M,N分别为棱BC,CD上的动点(包含端点),则下列说111111法正确的是():..,则在棱CD上存在点N使得MN?,N分别为棱BC,CD的中点时,,N分别为棱BC,CD的中点时,过A,M,N三点作正方体的截面,?AMN的体积为定值11【答案】ACD【解析】【分析】当N为CD的中点时,过M作MM??BC于M?,证AC?平面MM?N判断A;根据正方体棱的AMN与正方体各个面的特征和线面平行的判定方法判断B;通过线线平行和线面平行的性质,作出平面1交线判断C;?ABCD中,点M,N分别在棱BC,CD上,【详解】在正方体111111对于A,如图,NCDMM?//BBBC??BC?ABCD当为的中点时,过M作交于M,显然M为的中点,MM?平面,1而AC?平面ABCD,则有MM??AC,又M￠N^AC,M?N与MM?相交于M?,因此AC?平面MM?N,又MN?平面MM?N,所以MN?AC,A正确;ABCD?ABCD中,棱可分为三类,分别是与AA,AB,AD平行的棱,对于B,在正方体111111111AA,AB,AD与平面AMN都相交于A,因此在正方体中不存在棱与平面AMN平行,B错误;而11111111对于C,如图,取BC中点M?,连接AM?,有AM?//AM,1:..1过N作AM?的平行线交AD于点E,此时DE?DA,有EN//AM,41ENA,M,N三点的平面与平面ABCD的交线;即为过11AE,在BC上取点F,使得CF?CB,有AE//BF,连接14111于点G,,且AE//MG,再过点M作11311MGA,M,B的交线;即为过111NGAMGNE即为正方体中过A,M,N三点的截面,C正确;连接,则五边形11BC,CD上运动时,M到AD距离始终为2,N到平面ADM对于D,M,N在棱的距离始终为2,111111114因此V?V??2??2?2?恒为定值,?A1MNN?A1MD1323故选:ACD?????????????ex在点Px,fx处的切线和曲线gx?lnx在点Qx,gx处的切线互相1122平行,则下列命题正确的有()x?xf?x??g?x???0,则12?e?有最大值为12e1xxe12【答案】BD【解析】1x?,进而分别构造函数【分析】根据导数值相等可得2ex11xm?x??x?n?x?=ex?xq?x??xex,p(x)?,【详解】f??x??ex,g?(x)?,x:..111f??x??ex?g?(x)?ex1?x?所以1,故,进而12xx2ex2211x?x?x?,对于A,121ex111ex?1m?x??x?,?m?x??1??x?0,m??x??0,m(x)令,故当单调递增,exexexx?0,m??x??0,m(x)m?x??m?0??1x?x有最小值为1,A错误,当单调递减,故,因此121对于B,f?x??g?x??ex1?lnx?ex1?ln?ex1?x,122ex1n?x?=ex?x,?n??x??ex?1,故当x?0,n?(x)?0,n(x)单调递增,当x?0,n?(x)?0,n(x)单调递减,令n(x)?n(0)?1f?x??g?x?的最小值为1,B正确,所以,故12xx1?xxx?1,令p(x)?,?p?(x)?对于C,,12exexex11x?1,p?(x)?0,p(x)x?1,p?(x)?0,p(x)p(x)?p(1)?,故xx有故当单调递减,当单调递增,所以e121最大值是,C错误,ex2?x2112??xexq?x??xex,?q??x???1?x?ex,对于D,1,令xxxex111211当0?x??1,q?(x)?0,q(x)单调递增,当x??1,q?(x)?0,q(x)单调递减,所以q(x)?q(?1)??,故e?1?q?x???,0???e?1?1?1?1?1y?t?,t??,0t??,y?t????e,由于函数??单调递减,所以当??tee?t?e??max,故D正确,故选:BD【点睛】方法点睛:利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形;h?x?(2)构造新的函数;h?x?(3)利用导数研究的单调性或最值;(4)根据单调性及最值,(非选择题):..三、填空题:本题共4小题,每小题5分,??2,1??sin2??,【答案】?##?【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义以及二倍角的正弦公式求解.【详解】由题可知,r?OP?5,15?225所以sin???,cos????,55554sin2??2sin?cos???,所以54故答案为:?.5?????????ABC中,AB?2,AC?4,P是?ABC的外心,则AP?BC等于___________.【答案】6【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律求解.【详解】如图,若P是?ABC的外心,过P作PS?AB,PT?AC,垂足分别为S,T,则S,T分别为AB,AC中点,:..所以AS?1,AT?2,????????????????????????????????????AP?BC?AP·?AC?AB??AP?AC?AP?AB所以?AT?AC?AS?AB?2?4?1?2?6,故答案为:,6,10,…,210及2,8,14,…,212,将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项之和等于___________.【答案】1872【解析】【分析】分别求出两数列的通项公式,求得满足公共项的特征,可知公共项组成的数列是首项为2,公差为12的等差数列,且项数为18项,即可求出各项之和等于1872.?a?,【详解】根据题意可知,令数列2,6,10,…,210为n?a?a?2?4?n?1??4n?2,n?N*,1?n?53易知数列是首项为2,公差为4的等差数列,即;nn?b?,令数列2,8,14,…,212为n?b?是首项为2,公差为6的等差数列,即易知数列nb?2?6?n?1??6n?4,n?N*,1?n?36;na?4n?2?b?6n?44n?2?6n,这两个等差数列的公共项需满足n1n2,可得12125n?1时,n?1;当n?2时,n??N*;当n?3时,易知当21212211n?4;当n?4时,n??N*;当n?5时,n?7……121221n?1,3,5,????,35时为两数列的公共项,即可得2?c?,易知c?2,c?b?14,???设公共项为数列n123?c?是以c?2为首项,公差为12的等差数列,且项数为18项,所以n1c?2?12?n?1??12n?10,1?n?18;即n18??2?12?18?10??c?1872可得数列????????.n12182故答案为:?ABC的四个顶点都在同一个球面上,且底面边长是3,侧棱PA与底面ABC所成的角为:..?P-AB-C?tan??????,,____________.【答案】?3【解析】【分析】建立空间直角坐标系,利用球心到A,B,C,P的距离等于半径,将半径表示为只含有一个变量的函数,利用导数找到最小值,将三棱锥特殊化,再分别求角即可.【详解】如图建立空间直角坐标系,记?ABC中心为Q,3333Q(0,0,0)A(0,3,0)C(?,?,0)B(,?,0),P(0,0,m)则,,,2222设球心为(a,b,c),半径为R,???2a2?b?3?c2?R2??232?3????a??b??c2?R2?????2?2??????则?,?22?3??3??a??b??c2?R2????2?2???????a2b2?cm?2R2??????m2?3解得a?0,b?0,c?R2?3,R?,2m?该球的表面积最小,?该球半径最小,m2?3m2?3构建f?m???m?0?,则f?(m)?,2m2m2令f?(m)?0,m?(0,3),令f?(m)?0,m?(3,??),故f(m)在(0,3)单调递减,在(3,??)单调递增,当m?3时,半径最小,此时P(0,0,3):..?????易知面ABC法向量n?(0,0,1),AP?(0,?3,3),?????AP·n2π??sin?????????0,故?,且??AP·n2?2?π可得??,故tan??1,4????333??而AB?(,?,0),设面ABP法向量m?(x,y,z),22??????333m·AB?x?y?0???则?22,令x?3,可得m?(3,1,1),??????m·AP3y3z0???????πn·m5????0,cos?????且??,故,?2?nm525所以sin??,tan??2,5tan??tan?tan????????3故1?tan?tan?故答案为:?3.【点睛】本题解题关键是先利用球的表面积最小得到P的坐标,然后再利用向量法求得线面角,面面角,、解答题:本题共6小题,第17小题10分,其余小题每题12分,、证明过程或演算步骤.?a?nSS,S,,前项和为,?a?的通项公式;(1)