2023-2024学年贵州省贵阳市高二上册期末监测考试数学试题(含解析).pdf

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????所以AE??3,1,1,AF??3,?1,2.?设n??x,y,z?是平面AEF的法向量,????????n?AE??x,y,z???3,1,1??3x?y?z?0?则?????,????n?AF??x,y,z???3,?1,2??3x?y?2z?0?取y?1,则x?3,z?2.???所以,n?3,1,2是平面AEF的一个法向量,由(1)可知,OA⊥平面BEFD,即OA⊥平面BBDD,11??????所以OA?3,0,0是平面BBDD的一个法向量,11??????3,1,2??3,0,0??????n?OA?6而cos?n,OA?????????,nOA3?1?4?346所以平面AEF与平面BBDD夹角的余弦值为114x?my?2?m?R?2A,?2px(p?0)相交于两点,且OA?OB.(1)求抛物线方程;(2)求AOB面积的最小值.【正确答案】(1)y2?2x(2)4【分析】(1)联立直线与抛物线方程,消元得出韦达定理,将OA?OB表示为坐标形式,列:..方程化简计算,可得抛物线方程;m(2)利用三角形的面积公式,结合韦达定理,根据的取值,得出面积的最小值.【详解】(1)设直线与抛物线交于点A?x,y?,B?x,y?,1122?x?my?2?y?y?2pmy2?2pmy?4p?0,显然??0,所以12联立?得?,y2?2px(p?0)yy??4p??12因为OA?OB,所以xx?yy?0,即?my?2??my?2??yy?0,12121212?m2?1?yy?2m?y?y??4?0?4p?m2?1??4pm2?4?0化简得,代入得1212解得p?1,所以抛物线方程为y2?2x(2)因为直线x?my?2过定点?2,0?,1S??2?y?y?y?y??y?y?2?4yy?16?4m2?4,所以AOB212121212当且仅当m?0时,AOB的面积取得最小值为4x2?y2?4A?1,1?:,过定点作两条互相垂直的直线,,且交圆O于121P?x,y?,P?x,y?lP?x,y?,P?x,y?两点,**********(1)若PP?22,求直线l的方程;131(2)求证:x?x?x?【正确答案】(1)x?y?2?0(2)证明见解析【分析】(1)根据题意分析可得O?0,0?到直线l的距离为d?2,讨论直线的斜率是否存1在,结合点到直线的距离运算求解;(2)讨论直线是否与坐标轴垂直,结合韦达定理证明结论.【详解】(1)由题设可知圆O的圆心为O?0,0?,半径为r?2,:..PP2????由PP?22,可得O0,0到直线l的距离为d?r2?13?2,131??2??因为直线l经过点A?1,1?,则有:1当直线l的斜率不存在时,则l:x?1,此时O?0,0?到直线l的距离为d?1,不合题意;111当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y?1?k?x?1?,即kx?y?k?1?0,11?k?1则?2,解得k??1,k2?1所以直线l的方程为y?1???x?1?,即x?y?2??1,1?O(2)∵OA?12?12?2?r,即定点在圆内,∴直线l,l与圆O均相交,12当直线l与x轴垂直时,直线l与x轴平行,此时x?x?2,x?x?0,121324所以x?x?x?x?2;1234当直线l与x轴垂直时,直线l与x轴平行,此时x?x?0,x?x?2,211324所以x?x?x?x?2;1234当直线l与不坐标轴垂直时,设直线l的方程为y?k?x?1??1?k?0?,111l的方程为y?x1?1?k0?则直线?????,2k?y?k?x?1??1?1?k2?x2??2k?2k2?x?k2?2k?3?0联立方程?,消去y得,x2?y2?4?2k2?2k所以x?x?,131?k22?2k同理可得x?x?,241?k2所以x?x?x?x?2,1234综上所述:x?x?x??a?a?3a????2n?1?a?(1)求a,a,a,试猜想?a?的通项公式,并证明;123n:..?2n?(2)求数列???n?222【正确答案】(1)a?2,a?,a?,a?,证明见解析12335n2n?13?2n?2n?3?(2)2【分析】(1)根据已知求出a,a,a,猜想数列?a?的通项公式为a?,当n?2时,123nn2n?12a?3a?L??2n?3?a?2?n?1?,结合已知式子两式相减即可得出当n?2时,a?,12n?1n2n?1再验证n?1成立即可;?2n?(2)结合第一问结论得出数列??的通项,?n?【详解】(1)因为a?3a????2n?1?a?2n?①,12n当n?1时,a?212当n?2时,a?3a?4,可得a?,12232当n?3时,a?3a?5a?6,可得a?,123352所以猜想数列?a?的通项公式为a?,证明如下:nn2n?1由题意,当n?2时,a?3a?L??2n?3?a?2?n?1?L②,12n?12①?②,得?2n?1?a?2,所以a?,nn2n?1当n?1时,上式为a?2,这就是说,当n?1时,,数列?a?的通项公式为a?;nn2n?12n?2n??2n?1?2n?1?S(2)由(1)知,记??的前n项和为,aann?n?则S?20?1?21?3???2n?1?2n?1??③,n故2S?21?1?22?3???2n?1?2n?3??2n?2n?1??④,nS??2?21?22???2n?1??2n?2n?1??1④?③,得,n:..2?12n?1????2??2n?2n?1??1?3?2n?2n?3?,1?2?2n?所以数列的前n项和为3?2n?2n?3?.??a?n?:(一)极点与极线的代数定义;已知圆锥曲线G:Ax2?Cy2?2Dx?2Ey?F?0,则称点P(x,0yAxx?Cyy?D?x?x??E?y?y??F?0)和直线l:?x实上,在圆锥曲线方程中,以xx替换x2,以0替换x(另一变量y也是如此),即可得到02x2y2点P(x,y),对于椭圆??1,与点P(x,y)对应的极线方00a2b200xxyyx2y2xxyy程为0?0?1;对于双曲线??1,与点P(x,y)对应的极线方程为0?0?1;a2b2b2b200a2b2y2?2pxyyy?p?x?x?对于抛物线,与点P(x,),每一对极点与极线是一一对应的关系.(二)极点与极线的基本性质?定理①当P在圆锥曲线G上时,其极线l是曲线G在点P处的切线;②当P在G外时,其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线);③当P在G内时,:x2y23(1)已知椭圆C:??1(a?b?0)经过点P(4,0),离心率是,求椭圆C的方程并写a2b22出与点P对应的极线方程;1(2)已知Q是直线l:y??x?4上的一个动点,过点Q向(1)中椭圆C引两条切线,切点2????????分别为M,N,是否存在定点T恒在直线MN上,若存在,当MT?TN时,求直线MN的方程;若不存在,【正确答案】(1)??1,x?4?0164(2)存在,x?2y?4?0【分析】(1)根据题意和离心率求出a、b,即可求解;:..(2)利用代数法证明点Q在椭圆C外,,可得该直线恒过定点T(2,1),利用点差法求出直线的斜率,【详解】(1)因为椭圆??1(a?b?0)过点P(4,0),a2b24202c3则??1,得a?4,又e??,a2b2a2所以c?23,所以b2?a2?c2?4,x2y2所以椭圆C的方程为???y根据阅读材料,与点P对应的极线方程为??1,即x?4?0;164(2)由题意,设点Q的坐标为(x,y),0011因为点Q在直线y??x?4上运动,所以y??x?4,2020?x2y2??1?164?联立?,得x2?8x?24?0,1?yx4???????2Δ?64?4?24??32?0,该方程无实数根,1所以直线y??x?4与椭圆C相离,即点Q在椭圆C外,2又QM,QN都与椭圆C相切,??1,与点Q(x,y)对应的极线方程为0?0?1,164001641xxyy将y??x?4代入0?0?1,整理得x?x?2y??16y?16?0,0201640又因为定点T的坐标与x的取值无关,0?x?2y?0?x?2所以?,解得?,16y?16?0y?1??所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上.????????当MT?TN时,T是线段MN的中点,设M?x,y?,N?x,y?,直线MN的斜率为k,1122:..?x2y21?1?1?164yy4xx42211????则?,两式相减,整理得21???12?????,即k??,x2y2x?x16y?y162?122?2212112??????164????????1所以当MT?TN时,直线MN的方程为y?1???x?2?,即x?2y?4?