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1a1a精品beplayapp体育下载精品beplayapp体育下载袀蝿蚅薅薈膅薂9精品beplayapp体育下载〖题型〗求1dx2x1〖求解示例〗●第二类换元法(去根式)(▲▲)(dyfxdx的正向应用)⑴对于一次根式(a0,bR):axb:令taxt2bb,于是x,则原式可化为taa0):⑵对于根号下平方和的形式(a2x2:令xatant(2t),2于是tarctanx,则原式可化为asect;aa0):⑶对于根号下平方差的形式(:令xasint(t),22于是tarcsinx,则原式可化为acost;:令xasect(0t),osa,则原式可化为2于是tatant;x〖题型〗求1dx(一次根式)2x1〖求解示例〗解:1dxt2x11dttC2x1C2xx1t21tdt122tdxtdt〖题型〗求a2x2dx(三角换元)〖求解示例〗第三节分部积分法●分部积分法(▲▲)⑴设函数ufx,vgx具有连续导数,则其分部积分公式可表示为:udvuvvdu⑵分部积分法函数排序次序:“反、对、幂、三、指”●运用分部积分法计算不定积分的基本步骤:⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序;⑵就近凑微分:(vdxdv)⑶使用分部积分公式:udvuvvdu⑷展开尾项vduvudx,,则直接计算出答案(容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果);,无法通过a中方法求解的不定积分,则重复⑵、⑶,直至出现容易求解的不定积分;若重复过程中出现循环,则联立方程求解,但是最后要注意添上常数C〖题型〗求exx2dx〖求解示例〗〖题型〗求exsinxdx〖求解示例〗∴exsinxdx1exsinxcosxC2第四节有理函数的不定积分●有理函数(▲)Pxpxa0xma1xm1am设:qxb0xnb1xn1Qxbn对于有理函数Pxx的次数小于Qx的,当PQx次数时,有理函数Px是真分式;当Px的次数Qx大于Qx的次数时,有理函数Px是假分式Qx●有理函数(真分式)不定积分的求解思路(▲)⑴将有理函数Px的分母Qx分拆成两个没有Qx公因式的多项式的乘积:其中一个多项式可以表示为一次因式xak;而另一个多项式可以表示为x2pxql4q0);二次质因式,(p2即:QxQ1xQ2x一般地:mxnmxn,则参数anmm则参数pb,qcPxaa⑵则设有理函数的分拆和式为:Qx其中参数A1,A2,...,Ak,M1,M2,...,Ml由待定系N1N2Nl数法(比较法)求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解x2〖题型〗求dx(构造法)x1〖求解示例〗精品beplayapp体育下载精品beplayapp体育下载袀蝿蚅薅薈膅薂10精品beplayapp体育下载第五节积分表的使用(不作要求)第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质●定积分的定义(▲)(fx称为被积函数,fxdx称为被积表达式,x则称为积分变量,a称为积分下限,b称为积分上限,a,b称为积分区间)●定积分的性质(▲▲▲)bfxdxbfudu⑴aaafxdx0⑵abkfxdxkbxdx⑶faa⑷(线性性质)⑸(积分区间的可加性)⑹若函数fx在积分区间a,b上满足fx0,b0;则fxdxa(推论一)若函数fx、函数gx在积分区间a,b上满足fxbbgx,则fxdxgxdx;aabfxdxb(推论二)afxdxa●积分中值定理(不作要求)第二节微积分基本公式●牛顿-莱布尼兹公式(▲▲▲)(定理三)若果函数Fx是连续函数fx在区间a,b上的一个原函数,则●变限积分的导数公式(▲▲▲)(上上导―下下导)et2dt〖题型〗求limcosxx2x0〖求解示例〗第三节定积分的换元法及分部积分法●定积分的换元法(▲▲▲)⑴(第一换元法)a.,,使得a,b;,或,上,ft,t连续bxdxfttdt则:fa〖题型4x2dx〗求02x1〖求解示例〗⑶(分部积分法)●偶倍奇零(▲▲)设fxCa,a,则有以下结论成立:⑴若fxaafx,则fxdx2fxdxa0⑵若fxfx,则afxdx0a第四节定积分在几何上的应用(暂时不作要求)第五节定积分在物理上的应用(暂时不作要求)第六节反常积分(不作要求)如:不定积分公式1dxarctanxC的证明。很1x2多同学上课时无法证明,那么在学期结束时,我给出这样一种证明方法以说明问题:如此,不定积分公式21x2dx1arctanxC也就很aaa容易证明了,希望大家仔细揣摩,认真理解。精品beplayapp体育下载精品beplayapp体育下载袀蝿蚅薅薈膅薂11精品beplayapp体育下载〖题型〗求〖求解示例〗21dx解:02x11ln1ln5221dx2x1121d2x11ln2x12202x120ln52精品beplayapp体育下载精品beplayapp体育下载袀蝿蚅薅薈膅薂8精品beplayapp体育下载⑵(第二换元法)设函数fxCa,b,函数xt满足:精品beplayapp体育下载精品beplayapp体育下载袀蝿蚅薅薈膅薂8精品beplayapp体育下载