广东省韶关市2024学年高三beplay体育软件下载一次质量调研数学试题.pdf

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,b2?5,故所求双曲线的方程为??【题目点拨】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程,考查基本求解能力,【解题分析】x??3f???3??0对函数求导,根据函数在时取得极值,得到,即可求出结果.【题目详解】f?x??x3?ax2?3x?9f??x??3x2?2ax?3因为,所以,f?x??x3?ax2?3x?9x??3又函数在时取得极值,:..f???3??27?6a?3?0a?5所以,【题目点拨】本题主要考查导数的应用,根据函数的极值求参数的问题,【解题分析】求函数定义域得集合M,N后,再判断.【题目详解】由题意M?{x|x?1},N?{x|0?x?1},∴MN?.【题目点拨】本题考查集合的运算,,集合是函数的定义域,还是函数的值域,是不等式的解集还是曲线上的点集,、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.?1【解题分析】f?4?f?4?f?f?4??先求,再根据的范围求出??即可.【题目详解】f?4??log4?2由题可知,2f?f?4???f?2??22?5??1故??.故答案为:?1.【题目点拨】本题考查分段函数函数值的求解,涉及对数的运算,.?3【解题分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简,结合已知条件即可求出实数a的值.【题目详解】z??1?2i??a?i???a?2???1?2a?i解:的实部与虚部相等,:..所以a?2?1?2a,计算得出a??:?3【题目点拨】本题考查复数的乘法运算和复数的概念,.[,??)3【解题分析】将f(x)写成分段函数形式,分析得f(x)为奇函数且在R上为增函数,利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.【题目详解】?x2,x?0根据题意,f(x)=x|x|=?,?x2,x?0?则f(x)为奇函数且在R上为增函数,则f(2x﹣1)+f(x)≥0?f(2x﹣1)≥﹣f(x)?f(2x﹣1)≥f(﹣x)?2x﹣1≥﹣x,11解可得x≥,即x的取值范围为[,+∞);331故答案为:[,+∞).3【题目点拨】本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用,注意分析f(x)的奇偶性与单调性.???,?1?16.【解题分析】由题意可知:f(x)为R上的单调函数,则f(x)?2019x为定值,由指数函数的性质可知f(x)为R上的增函数,则g(x)???在[?,]单调递增,求导,则g?(x)0恒成立,则k2sin(x?),根据函数的正弦函数的性质即可求得k的224min取值范围.【题目详解】若方程f?(x)?0无解,则f?(x)?0或f?(x)?0恒成立,所以f(x)为R上的单调函数,?x?R都有f[f(x)?2019x]?2019,则f(x)?2019x为定值,设t?f(x)?2019x,则f(x)?t?2019x,易知f(x)为R上的增函数,:..g(x)?sinx?cosx?kx,??g?(x)?sinx?cosx?k?2sin(x?)?k,4又g(x)与f(x)的单调性相同,???g(x)在R上单调递增,则当x?[?,],g?(x)0恒成立,22????3??2当x?[?,]时,x??[?,],sin(x?)?[?,1],2244442??2sin(x?)?[?1,2],4此时k?1,???,?1?故答案为:【题目点拨】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数的单调性,正弦函数的性质,辅助角公式,考查计算能力,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析(2)最小值为1.【解题分析】(1)根据抛物线的定义,判断出C的轨迹为抛物线,,B两点的坐标,利用导数求得切线PA,PB的方程,,联立直线m的方程和曲线C的方程,根据韦达定理求得P点的坐标,并由此判断出P始终在直线l上,且PF?AB.(2)设直线AB的倾斜角为?,求得AB的表达式,求得MN的表达式,由此求得四边形AMBN的面积的表达式进而求得四边形AMBN的面积的最小值.【题目详解】(1)∵动圆过定点F(0,1),且与直线l:y??1相切,∴动圆圆心到定点F(0,1)和定直线y??1的距离相等,∴动圆圆心的轨迹C是以F(0,1)为焦点的抛物线,∴轨迹C的方程为:x2?4y,x2x2xx2x设A(x,1),B(x,2),x2?4y,?y??,∴直线PA的方程为:y?1?1(x?x),即:4y?2xx?x2①,1424242111同理,直线PB的方程为:4y?2xx?x2②,22x?xxx由①②可得:P(12,12),24:..?y?kx?1直线m方程为:y?kx?1,联立?可得:x2?4kx?4?0,?P(2k,?1),x2?4y?1?k?k???k??1,∴点P始终在直线l上且PF?AB;PFk4(2)设直线AB的倾斜角为?,由(1)可得:|AB|?1?k2x?x?4(1?k2)?4(1?tan2?)?,12cos2?44?|MN|??,cos2(??90?)sin2?1832∴四边形AMBN的面积为:?|AB|?|MN|???32,当且仅当??45或135,即k??1时2sin2?cos2?sin22?取等号,∴四边形AMBN的面积的最小值为1.【题目点拨】本小题主要考查动点轨迹方程的求法,考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线中四边形面积的最值的计算,考查运算求解能力,.(1)3;(2).2【解题分析】33?(1)由b2?c2?abc?a2,osA?abc,结合A?可得结果;3331ππ(2)由正弦定理sinB?,B?,利用三角形内角和定理可得C?,【题目详解】3(1)由题意,得b2?c2?a2?∵b2?c2?a2?∴osA?abc,3π∵A?,∴a?23cosA?(2)∵a?3,ab1由正弦定理?,可得sinB?.sinAsinB2π∵a>b,∴B?,6:..π∴C?π?A?B?.213∴S?absinC?.?ABC22【题目点拨】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数,:(1)b2?c2?a2a2?b2?c2?osA;(2)cosA?,,在解与三角形、2bc三角函数有关的问题时,还需要记住30o,45o,60o等特殊角的三角函数值,.(1)12;(2)S?123?30【解题分析】sin?BCA?sin??BAC??B?(1)根据同角三角函数式可求得cos?BAC?sin?B,结合正弦和角公式求得,即?可求得?BCA?,进而由三角函数2(2)设AD?x,DC?y,根据余弦定理及基本不等式,可求得xy的最大值,结合三角形面积公式可求得S的最大?ADC值,即可求得四边形ABCD面积的最大值.【题目详解】5(1)sin?BAC?cos?B?,13?5?212则由同角三角函数关系式可得cos?BAC?sin?B?1????,?13?13sin?BCA?sin??BAC??B?则?sin?BAC?cos?B?cos?BAC?sin?B551212?????1,13131313?则?BCA?,212所以AC?AB?sinB?13??(2)设AD?x,DC?y,在?DAC中由余弦定理可得AC2?DA2?DC2?2DA?DC?cos?ADC,代入可得22,144?x?y?xy:..由基本不等式x2?y2?2xy可知144?xy?2xy,即xy?48,当且仅当x?y?43时取等号,1由三角形面积公式可得S?xysin?ADC?ADC213??48??123221S??12?5?30,?ACB2所以四边形ABCD面积的最大值为S?123?30.【题目点拨】本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用,余弦定理及不等式式求最值的综合应用,.(1)见解析;(2)(﹣∞,0]【解题分析】?2?41x2e3x?3x?21nx?1(1)利用导数求x<0时,f(x)的极大值为f????,即证f(x)?;(2)等价于k≤,?3?9e29xx2e3x?3x?21nx?1x>0,令g(x)=,x>0,再求函数g(x)【题目详解】(1)∵函数f(x)=x2e3x,∴f′(x)=2xe3x+3x2e3x=x(3x+2)′(x)>0,得x<﹣或x>0;由f′(x)<0,得??x?0,3322∴f(x)在(﹣∞,﹣)内递增,在(﹣,0)内递减,在(0,+∞)内递增,33?2?4∴f(x)的极大值为f????,?3?9e2?2?441∴当x<0时,f(x)≤f???????3?9e29?49x2e3x?3x?21nx?1(2)∵x2e3x≥(k+3)x+2lnx+1,∴k≤,x>0,xx2e3x?3x?21nx?1x2(1?3x)e3x?21nx?1令g(x)=,x>0,则g′(x)?,xx2令h(x)=x2(1+3x)e3x+2lnx﹣1,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,且x→0时,h(x)→﹣∞,h(1)=4e3﹣1>0,+:..∴存在x∈(0,1),使得h(x)=0,00∴当x∈(0,x)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,0当x∈(x,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,0x2e3x0?3x?2lnx?1∴g(x)在(0,+∞)上的最小值是g(x)=000,0x01?2lnxx2?1?3x?e3xx2e3x?0∵h(x)=0+2lnx﹣1=0,所以0,000001?3x0令x2e3x0=1,?2lnx?3x?0,0001?2lnx令0=1,?2lnx?3x?01?3x0001?2lnxx2e3x0?02lnx=?3x所以=1,,01?3x000x2e3x?3x?21nx?11?3x?3x?10∴g(x)?000?00?00xx00∴实数k的取值范围是(﹣∞,0].【题目点拨】本题主要考查利用证明不等式,考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题,?3?21.(1)?y2?1;(2)或244【解题分析】(1)先由题意得出b?c,可得出b与a的等量关系,然后将点的坐标代入椭圆C的方程,可求出a与b的值,从而得出椭圆C的方程;(2)对直线l的斜率是否存在进行分类讨论,当直线l的斜率不存在时,可求出MN,然后进行检验;lly?kx?mM?x,y?,N?x,y?lOm当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,设点,先由直线与圆相切得出与11224k之间的关系,再将直线l的方程与椭圆C的方程联立,由韦达定理,利用弦长公式并结合条件MN?得出k的值,3从而求出直线l的倾斜角.【题目详解】(1)由题可知圆O只能经过椭圆的上下顶点,所以椭圆焦距等于短轴长,可得a2?2b2,:..?1?b21又点?b,?在椭圆C上,所以??1,解得a2?2,b2?1,?a?a2a2b2x2即椭圆C的方程为?y2?(2)圆O的方程为x2?y2?1,当直线l不存在斜率时,解得MN?2,不符合题意;m当直线l存在斜率时,设其方程为y?kx?m,因为直线l与圆O相切,所以?1,即m2?1??1将直线l与椭圆C的方程联立,得:?2?221?2kx?4kmx?2m?2?0,判别式???8m2?8?16k2?8k2?0,即k?0,?4km2m2?28k2M?x,y?,N?x,y???2设,则x?x=,xx=,x?x?x?x?4xx?,1122121?2k2121?2k212121221?2k8k24所以MN??x?x?2??y?y?2?1?k2x?x?1?k2??,1212121?2k23解得k??1,?3?【题目点拨】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出a,b,,,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,“点差法”解决,.(1)(2)详见解析【解题分析】(1)利用频率分布直方图平均数等于小矩形的面积乘以底边中点横坐标之和,再利用正态分布的对称性进行求解.(2)写出随机变量的所有可能取值,利用互斥事件和相互独立事件同时发生的概率计算公式,再列表得到其分布列.【题目详解】?解:(1)从这1000人问卷调查得到的平均值为??35??45??55??65??75??85??95????11?????65:..N?65,210?∵由于得分Z服从正态分布,??P??Z?94??P?65??Z?65?2?????pp?P?Z????(2)设得分不低于分的概率为,(或由频率分布直方图知p??????)22法一:X的取值为10,20,30,40121P?X?10????;233111227P?X?20???????