柯西—施瓦茨不等式证明.pdf

该【柯西—施瓦茨不等式证明 】是由【青山代下】上传分享，beplayapp体育下载一共【4】页，该beplayapp体育下载可以免费在线阅读，需要了解更多关于【柯西—施瓦茨不等式证明 】的内容，可以使用beplayapp体育下载的站内搜索功能，选择自己适合的beplayapp体育下载，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此beplayapp体育下载到您的设备，方便您编辑和打印。柯西—施瓦茨不等式证明柯西—施瓦茨不等式是数学中的一种基本不等式,常用于证明其他数学定理以及计算问题。它是由法国数学家柯西和德国数学家施瓦茨分别发现并建立的,也因此得到了“柯西—施瓦茨不等式”的命名。柯西—施瓦茨不等式是关于向量空间中内积的不等式,它描述了两个向量内积的上界。具体来说,对于任意两个向量x和y,它们的内积满足如下不等式:x?y≤||x||||y||其中“||x||”表示向量x的范数,也就是x的长度。这个不等式表明了,两个向量内积的绝对值不会超过它们长度的乘积,即它们的夹角越小,内积越大,但是内积的取值范围不会超过它们的长度的乘积。这个不等式在实际应用中是非常广泛的,可以帮助我们解决很多实际问题,比如矩阵计算、功率估算以及优化问题等等。下面我们来证明柯西—施瓦茨不等式。我们可以先证明它的特殊情形,也就是当x与y线性相关时,不等式成立。具体来说,如果存在实数k,使得y=kx,那么有:x?y=x?kx=k||x||^2||x||||y||=||x||||kx||=|k|||x||^2因此,x?y≤||x||||y||成立。接下来,我们考虑一般情形,也就是当x与y线性无关时,不等式依然成立。假设对于任意k,都有:x?y≤k||x||||y||,(1)则我们需要证明k≥1。为了方便,我们假设||x||=||y||=1,否则我们可以通过归一化使得它们的长度都等于1。此时,式子(1)变为:x?y≤k我们考虑选择k的取值,使得上述不等式成立。我们定义||x+y||^2=||x||^2+2x?y+||y||^2,这里“^”代表幂运算,于是有:2x?y=||x+y||^2-||x||^2-||y||^2根据定义可以看出,||x+y||^2≥0,||x||^2≥0,||y||^2≥0。因此有2x?y≥-||x||^2-||y||^2,所以:x?y≥-1/2另一方面,由于向量x与y线性无关,因此它们不会完全位于同一个线性子空间中。考虑将y投影到与x垂直的空间中,我们可以将y分解为两个向量:y=y1+y2其中,y1为x的投影,y2为y在与x垂直的空间中的投影。因为y1与x平行,所以:y1=(x?y/||x||^2)x因此,我们得到:||y1||^2=(x?y)^2/||x||^4另一方面,y2与x垂直,所以有:x?y2=0因此,我们可以得到:||y||^2=||y1||^2+||y2||^2≤||y1||^2+||x||^2将其代入原式中,我们可以得到:x?y≤||x||||y||≤||x||^2+||y1||^2+||x||^2将||y1||^2代入上式中,我们得到:x?y≤||x||^2+((x?y)^2/||x||^2)我们可以令f(t)=t^2+k^2-2kt,然后使用一些微积分技巧来证明函数f(t)满足f(t)≥0,也就是:(x?y)^2≤||x||^2||y||^2紫书上有对函数f(t)满足这个结论的证明,其实就是缺省了这一步。这就是柯西—施瓦茨不等式的证明,它展示了不等式的本质:不等式背后的物理意义。不等式本身看起来很抽象,但是随着我们对它的探究,我们会发现它描述的是向量之间的关系,以及它们被嵌入空间的方式。同时,这个不等式在实际应用中是非常广泛的,可以用于优化、最小二乘法、信号处理等众多实际问题。