第2部分专题五第1讲直线与圆.doc

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)[解析]由于两直线方程中的常数项之比为-1,故两直线平行的充要条件是2m-1=m≠-=m,得m(m-1)=2,解得m=2或m=-=-1时,2=m=-1m-11m-111,两直线重合,所以两直线平行的充要条件是m=“m=2”是“l1∥l2”△ABC中,A(1,1),B(m,m)(10222为半径的圆.(1)(2016高·考浙江卷)已知a∈R,方程22+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,ax则圆心坐标是__________,半径是__________.(2)(2016高·考天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为45,(3)(2016南·宁模拟)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与y轴的交点,且圆C与直线xy+3=0相切,】(1)由题可得a2=a+2,解得a=-1或a==-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,表示圆,故圆心为(-2,-4),=2时,方程不表示圆.|2a-0| 4 5(2)设圆心为(a,0)(a>0),则圆心到直线 2x-y=0的距离d= 4+1=5,得a=2,半径r=(a-0)2+(0-5)2=3,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.(3)直线x-y+1=0与y轴的交点为(0,1),所以圆C的圆心为(0,1),因为圆C与直线x+y+3=0相切,所以半径r=|1+3|=22,所以圆的标准方程为x2+(y-1)2=【答案】(1)(-2,-4)5(2)(x-2)2+y2=9(3)x2+(y-1)2=8求圆的方程的两种方法(1)直接法:利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,数形结合直接求出圆心坐标、半径,进而求出圆的方程.(2)待定系数法:先设出圆的方程 ,再由条件构建系数满足的方程 (组)求得各系数,进而求出圆的方程.[题组通关]=x(x>0)上,且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为()A.(x-1)2+(y-2)2=5B.(x-2)2+(y-1)2=5C.(x-1)2+(y-2)2=25D.(x-2)2+(y-1)2=25222A[解析]y′=x′=-x2,令-x2=-2,得x=1,得平行于直线2x+y+1=0的曲线y=2(x>0)的切线的切点的横坐标为1,代入曲线方程得切点坐标为(1,2),以该点为圆心x且与直线2x+y+1=0相切的圆的面积最小,此时圆的半径为5=5,故所求圆的方程为5(x-1)2+(y-2)2=(-1,0),且圆心在x轴的负半轴上,直线l:y=x+1被该圆所截得的弦长为22,则圆C的标准方程是________.[解析]设圆心C(a,0)(a<0),则圆的半径r=|a+1|,圆心到直线l的距离d=|a+1|,所2以|a+1|2=|a+1|2+2,即|a+1|=2,解得a=-3(a=1舍去),所以所求圆的标准方程为(x23)2+y2=4.[答案](x+3)2+y2=4直线与圆、圆与圆的位置关系[学生用书P47]:相交、相切和相离,判断的方法主要有点线距离法和判别式法.(1)点线距离法:设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则dr?直线与圆相离.(2)判别式法:设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0,方程组错误!消去y,得关于x的一元二次方程根的判别式,则直线与圆相离?<0,直线与圆相切?=0,直线与圆相交?>,即内含、内切、相交、外切、:(x-a1)2+(y-b1)2=r12,圆C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22,两圆心之间的距离为d,则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下:(1)d>r1+r2?两圆外离;(2)d=r1+r2?两圆外切;(3)|r1-r2|0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()(2)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为()【解析】(1)由题知圆M:x2+(y-a)2=a2,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=a,22所以2a2-a=22,解得a=,圆N的圆心距|MN|=2,两圆半径之差为1,故2两圆相交.(2)如图,把圆的方程化成标准形式得x2+(y-1)2=1,所以圆心为(0,1),半径为r=1,四边形PACB的面积S=2S△PBC,所以若四边形PACB的最小面积是2,则S△,而S△PBC=r·|PB|,即|PB|的最小值为2此时|PC|最小,|PC|为圆心到直线kx+y+4=0的距离d,此时d=|5|=12+22=5,k2+1即k2=4,因为k>0,所以k=2.【答案】 (1)B (2)D解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,,可以转化为圆心到点的距离问题;圆上的点与直线上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题 ,可以转化为圆心到圆心的距离问题.[题组通关] 2x+(y-3)m-4=0(m∈R)恒过定点 P,若点P平分圆x2+y2-2x-4y-4=0的弦MN,则弦MN所在直线的方程是 ( )+y-5=0x+y-3=-y-1=-y+1=0A [解析]对于直线方程 2x+(y-3)m-4=0(m∈R),取y=3,则必有x=2,所以该直线恒过定点 P(2,3).设圆心是C,则易知C(1,2),3-2所以kCP= =1,由垂径定理知 CP⊥MN,所以kMN=-(2,3),故弦MN所在直线的方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=.(2016高·考全国卷丙)已知直线l:x-3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,|CD|=________.[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,0),D(x4,0),由x-3y+6=0,得x=3y-6,代入圆的方程,并整理,得y2-33y+6=0,解得y=23,y=3,所以x=0,x=-3,1212所以直线AC的方程为y-23=-3x,令y=0得x3=2,直线BD的方程为y-3=-3(x+3),令y=0得x4=-2,则|CD|=|x3-x4|=4.[答案]43.(2016太·原模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则|PC|的最大值为________.[解析]已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,所以圆心为C(1,2),半径r=2,若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则PC⊥△PAC中,∠APC=30°,由正弦定理得|AC|sin30°=|PC|,所以|PC|=22sin∠PAC≤22,故|PC|∠PAC[答案]22课时作业[学生用书 P126(独立成册)]+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,那么a的值等于().-32C.-3D.-2D[解析]直线ax+2y+1=0的斜率k=-a,直线x+y-2=0的斜率k=-1,因122a为两直线相互垂直,所以k1·k2=-1,即-2·(-1)=-1,所以a=-2,-y+3=0对称,:x+y+mx-4=0为().-[解析]圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则x-y+3=0过圆心-m,0,即-m+3=0,所以m=,设直线l:y=kx+1与圆C:x2+y2=4相交于A,B两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAMB,若点M在圆C上,则实数k等于().-[解析]由题意知圆心到直线l的距离等于12r=1(r为圆C的半径),所以|k×0-0+1|=1,解得k=+14.(2016武·汉调研)设定点A(3,1),B是x轴上的动点,C是直线y=x上的动点,则△ABC周长的最小值是()[解析]设点P,Q分别为点A关于直线y=x,x轴的对称点,则P(1,3),Q(3,-1),根据对称性知△ABC的周长为L=|AB|+|BC|+|CA|=|QB|+|BC|+|PC|,则当P,B,C,Q在同一直线上时,△ABC的周长L取得最小值,其最小值为 L=|PQ|= (1-3)2+(3+1)2=2 5,.(2016·家庄第一次模考石 )已知直线 ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A、B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为()-1B.--[解析]由题意得圆心(1,-a)到直线ax+y-1=02|a-a-1|的距离为2,所以1+a2=2,解得a=±1,.(2016兰·州模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+y+a=0与点A(0,2),若直线l上存在点M满足|MA|2+|MO|2=10(O为坐标原点),则实数a的取值范围是()A.(- 5-1, 5-1)B.[- 5-1, 5-1]C.(-2 2-1,2 2-1)D.[-2 2-1,2 2-1][解析]设M(x,y),因为|MA|2+|MO|2=10,所以x2+(y-2)2+x2+y2=10,即x2(y-1)2=4,由于点M在直线l上,所以直线x+y+a=0与圆x2+(y-1)2=4相交或相切时满足题意,即|1+a|≤2,解得-2 2-1≤a≤2 2-:4x-3y+1=0垂直且与圆C:x2+y2=-2y+3相切,则直线l1的方程是________.[解析]由题可得,圆C的标准方程为x2+(y+1)2=4,其圆心为(0,-1),半径r=+4y+c=0,则|3×0+4×(-1)+c|=2,解得c=14或c=-+42线l1的方程为3x+4y+14=0或3x+4y-6=0.[答案]3x+4y+14=0或3x+4y-6=08.(2016高·考全国卷乙)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为________.[解析]圆C的方程可化为x2+(y-a)2=a2+2,可得圆心的坐标为C(0,a),半径r=a2+2,所以圆心到直线x-y+2a=0的距离为|-a+2a|=|a|,所以|a|2+(3)2=222(a2+2)2,解得a2=2,所以圆C的半径为2,所以圆C的面积为4π.[答案]:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若圆C1与圆C2相外切,则实数m=________.[解析]对于圆C1与圆C2的方程,配方得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,则圆C1的圆心C1(m,-2),半径r1=3,圆C2的圆心C2(-1,m),半径r2=,那么有|C1C2|=r1+r2,即(m+1)2+(m+2)2=5,则m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2,所以当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2相外切.[答案]--2x-4y+a-5=0上有且仅有两个点到直线3x-4y-15=0的距离x+y为1,则实数 a的取值范围为 ________.[解析]圆的标准方程为 (x-1)2+(y-2)2=10-a,故10-a>0,即a<(1,2)到直线3x-4y-15=,当圆x2+y2-2x-4y+a-5=0上有且仅有两个点到直线3x-4y-15=0的距离为1时,圆的半径r满足30)关于直线 x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;→ →(2)设Q为圆C上的一个动点,求 PQ·-2+b-2+2=0,2 2[解](1)设圆心C(a,b),则b+2=1,a+2a=0,解得b= x2+y2=r2,将点P的坐标代入得 r2=2,故圆C的方程为 x2+y2=2.→→(2)设Q(x,y),则x2+y2=2,且PQ·MQ=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2,令x=2cosθ,y=2sin→→θ)-2=θ,则PQ·MQ=x+y-2=2(sinθ+cosπ-2,2sinθ+4→→所以PQ·MQ的最小值为-(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.[解](1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.→→设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).→→由题设知CM·MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,|OP|=|OM|,,从而ON⊥ 3,所以l的斜率为- ,8故l的方程为y=-3x+|OM|=|OP|=22,O到l的距离为410,|PM|=410,所以△POM的面积为16555.