高等数学练习题(附答案).pdf

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rac{f(x)}{x}$在$(0,a)$上单调递增。首先考虑$g(x)$的导数:g'(x)= rac{f'(x)x-f(x)}{x^2}:..由于$f(0)=0$,所以。因此在$x=0$附近,$g(x)$是单调递增的。接下来考虑$(0,a)$内的情况。注意到$g(x)$的导数可以写成:g'(x)= rac{f'(x)x-f(x)}{x^2}= rac{xf''(x)}{x^2}- rac{f(x)}{x^2}= rac{xf''(x)-f(x)}{x^2}因为$f''(x)>0$,所以对于,我们有$f''(x)> rac{f(x)}{x^2}$。等式两边同时乘以$x$,得到$xf''(x)>f(x)$。因此$g'(x)>0$,即$g(x)$在$(0,a)$上单调递增。因此,我们证明了$g(x)$在$[0,a)$上单调递增。:设$y$为函数$f(x)$的原函数,则+x=C$,其中$C$为常数。代入$f(1)=1$,得到$C=1$。因此,特解为。:..2.$f(x)$在$x=1$处有极值$-2$,所以$x=1$必为驻点。由$f(1)=1+a+b=-2$,得到$a=3$,$b=-3/2$。因此,$f(x)=x-3x^2/2$。:因为$f'(x)=3x^2+2ax+b$,所以$f''(x)=6x$。驻点为,$f''(1)=6>0$,$f(1)=-2$为极小值点,$f''(-1)=-6<0$,$f(-1)=2$为极大值点。4.(1)设船速为$x$(km/h),则每航行$1$km的耗费为$y= rac{1}{kx^3+96}x^3$。由,得到$k=$。令$y'= rac{1}{(x-8000)^2}$,得到驻点$x=20$,为极小值点。因此,船速为$20$(km/h)时,每航行$1$km的耗费最少,为$$元。2)设切线与抛物线交点为$(x,y)$,则切线的斜率为$ rac{2y}{x-1}$。又因为$y=x-2$上的切线斜率满足$2yy'=1$,在$(x,y)$上即有$2y rac{2y}{x-1}=1$,解得$y'= rac{x-1}{2y}$。因此,切线方程为$y= rac{1}{2}(x-1)$。所围成图形的面积为:..$x$轴旋转所得旋转体的体积为。:根据导数的定义,有$[f(x)xf'(x)-f(x)xf'(x)-x]=[f(x)-f(1)] rac{x^2}{x}$。因此,$ rac{d}{dx}[f(x)xf'(x)-f(x)xf'(x)-x]= rac{d}{dx}[f(x)-f(1)]x=[f(x)-f(1)]$,即$ rac{d}{dx}[f(x)xf'(x)- rac{1}{2}x^2]=f(x)-f(1)$。因此, rac{1}{2}t^2]dt=f(x)xf'(x)- rac{1}{2}x^2-f(0)0+ rac{1}{2}0^2=f(x)xf'(x)- rac{1}{2}x^2$。因此,。因此,[f(t)-f(1)]dt= rac{1}{2}f(x)x^2- rac{1}{2}f(0)0^2-。因此,。因此,。因此,。因此,。因此,:..。因此,,即。因此,f(t)dt$为$f(x)$的原函数。$(a,b)$内恒有$f'(x)0$,则在$(a,b)$内曲线弧$y=f(x)$为上升的凸弧。$F'(x)=G'(x)$,则$F(x)+G(x)$为常数。6.,故。$2x=3y=1$在空间表示的图形是过$Oz$轴的平面。$f(x,y)=x+y+xy$,则$f(tx,ty)=t^2f(x,y)$。,且,则级数在$p>1$时收敛,时发散。$y'+3xy=6xy$是一阶线性非齐次微分方程。$y=e^x$。$f(x)$在$(a,b)$可导,$a1时,有2x-3x2-311x即证得。,删除了文章中的格式错误和明显有问题的段落。然后对每段话进行了小幅度的改写,如下::..:e^{-1}} rac{e^x-1}{x^2}$。令,,则。求导可得x))$。同理,。,则$F'(x)= rac{f(x)}{x}$。令$g(x)=xf'(x)-f(x)/x$,则$g'(x)=xf''(x)$。因此,当$x>0$时,$g(x)$单调递增;当$x0$时,$F'(x)>0$,$F(x)$单调递增;当$x<0$时,$F'(x)<0$,$F(x)$单调递减。因此,命题成立。,则。当$f'(x)=0$时,有,此时$f(x)$取得极小值。而$f''(x)=2n>0$,所以是$f(x)$的极小值点。,首先将被积函数变形为。然后进行换元$x^2=u$,得到。最后,积分得到。,首先将被积函数变形为。:..然后进行换元$u=y-1$,得到。最后,积分得到。,首先将方程变形为。然后求出其通解为$y=Cx-。由初始条件$y(2)=-11$,可得$C=-1$,因此。$D^*(r, heta)$。2+y=4围成的区域;-ydx+(x+y3)dy=、应用题(每题7分,共14分),现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.:..=1,x=1,x=、证明(本题6分)证明:当x>时,不等式1+1/x>1+:2+y=4围成的区域;2这句话没有表述清楚,无法改写。求微分方程-ydx+(x+y3)dy=-ydx+(x+y3)dy=0的通解为y=-x+C/(1+y2)^(3/2),其中C为任意常数。:..某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长、宽各为多少才能使这间小屋面积最大。设长方形的长为x,宽为y,则由题意得2x+2y=20,即x+y=,即要求xy最大。由均值不等式可得(x+y)/2.=sqrt(xy),即xy=0,解得2<=x<==2时,y=8/2=4,面积为8;当x=5时,y=5,,长方形的长为2m,宽为4m时,面积最大。求由y=1,x=1,x=2与x轴所围成的图形的面积及该图绕x轴旋转一周的旋转体的体积。该图形为由y=1,x=1,x=2与x轴所围成的梯形,面积为(2+1)*1/2*1=,所得旋转体的体积为V=pi∫[1,2]x2dy=pi∫[1,2]x2*1dx=pi*[x3/3]1^2=pi/:当x。0时,不等式1+1/x。1+x成立。:..1+1/x。1+x可以化简为1/x。x-1,即x2-x+,都有x2。=0,因此x2-x+,即当x。0时,不等式1+1/x。1+x成立。证毕。