湖南省长沙市2023（突破训练）024学年高一上学期期中数学试题(解析版).pdf

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??【答案】【解析】【分析】利用基本不等式变形,?a?b???【详解】由题意a,b?0,且ab?a?b?3?,当且仅当?时,即a?b?3时等号??abab3?2?????成立,t2??令t?a?b?0,则上式为:t?3?,即t2?4t?12?0,???2?t??2a?b?6,???解得t?6或(舍),所以的取值范围为.?6,???故答案为:.?1x??2,x?0?x????kf?x??kx,x,x,x且?若存在实数,使得方程有4个不同实根11234??2,x?0?2x?xx?2x?xx?x?x?xk12,则的取值范围是_________;?21?0,1?##【答案】①.②.4【解析】:..111kx,x是方程?2?k的两根,则可求得??4【分析】结合函数图像,即可求出的取值范围;,122x2x2x122x?x11xx?2x?x12xxx2kxx?112即?,,是方程???的两个根,化简结合韦达定理得,进而可求342x2x434x342x2x1?21?2的值.?1x??2,x?01?x?x??2,x?0??x1??f?x??f?x??2?,?1?x?0【详解】由?,即?12x??2,x?0??2x?1??2,x??1?2x?f?x??0,1?由结合图象可知k的取值范围是,111x,x是方程?2?k的两根,即?2?2??k,122x2x2x12112x?x1412故??,即?,2x12x22x?2x4121x,x是方程x??2?kx2??k?2?x?1?0的两个根,由题意得的两个根,即方程34xxx?2x1?x211xx?1所以,则34?1??342x2x441?21?0,1?.故答案为:,4四、解答题(本题共6小题,、证明过程或演算步骤)12127???2??0??3217.(1)计算:??????;?????4??8?:..x3?x?311(2)若xx?3,?2?xx1???71【答案】(1)?;(2)232【解析】11【分析】(1)进行指数式运算可得;(2)将?两边同时平方可得到x?x?1的值,再将x?x?1平x2?x2?3x3?x?3方可求出x2?x?2的值,再用立方和公式将x3?x?3分解,代入x?x?1、x2?x?2的值,即可求出x?x?1???2?2?21??3??3?3?1?3??3?1【详解】(1)原式??1????????.??????????2?2??2?2?2??2?2????????11211???(2)因为?,所以x2?x2?x?x?1?2?9,得x?x?1??x2?3?????1?222所以x?x??x?x??2?49,得x2?x?2??xx1??x21x2?7?471?322所以????????????,x3?x?3322所以???x?1?77?7???3?,集合A?x2m?1?x?m?1,B?x?2.??2?x??1??m?,求A?eB;(1)若2R(2)若?x?eB,x?eA,?1?x0?x?【答案】(1)??2??3(2)?m?1或m>24【解析】【分析】(1)解分式不等式得集合B,再根据补集与交集的运算即可得;(2)由题意知A?B,所以A??或A??,求出取值范围.【小问1详解】:..1?3?m?,则A?x0?x?若??,22??1?1?3Bxx由≥2,解得?x?2,则????2?,2?x22???1?则eB?xx?或x?2,R??2???1?A??eB??x0?x?则??.R2??【小问2详解】由题意知A?B,当2m?1?m?1,即m>2时,A??,符合题意;13当2m?1?m?1,即m?2时,A??,要满足A?B,可得?2m?1?m?1?2,解得?m?1,243综上,实数m的取值范围为?m?1或m>?b1f?x???f?1???是定义在?2,2上的奇函数,?45f?x?(1)求函数的解析式;f?x???2,2?(2)判断函数在上的单调性,【答案】(1)f?x??x2?4(2)单调递增,证明见解析【解析】1??2,2?f?0??0bf?1??,求出af?x?【分析】(1)根据定义奇函数特征,,求出的值,又的值,得到5的解析式,并检验.(2)利用定义法证明函数单调性.【小问1详解】ax?b??2,2?函数是定义在上的奇函数,x2?4f?0??0b?0则,即有,1a1f?1??,则?a?1且,解得,51?45xf?x?f?x???2?x?2则函数的解析式:,,x2?4:..f?x?经检验,是奇函数.【小问2详解】mn?m?n??4?mn?f?m??f?n????证明:设?2?m?n?2,则????,m2?4n2?4m2?4n2?4由于?2?m?n?2,则m?n?0,mn?4,即4?mn?0,?m2?4??n2?4??0又,f?m??f?n??0则有,f?x???2,2?“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现:某珍惜水果树的单株产量W(单位:千克)与施用肥料x(单位:千克)满足如下关系:?5?x23?,0x2????W(x)?10x20x?50x,肥料成本投入为元,其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)?,2?x?5?1?,且销售畅通供不应求,记该水果单株利润为f(x)(单位:元)(1)写单株利润f(x)(元)关于施用肥料x(千克)的关系式;(2)当施用肥料为多少千克时,该水果单株利润最大?最大利润是多少??75x2?30x?225,0?x?2?f(x)?750x【答案】(1)?;?30x,2?x?5??1?x(2)4千克,480元﹒【解析】f?x?【分析】(1)用销售额减去成本投入得出利润的解析式;f?x?(2)根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值即可.【小问1详解】?5?x23?,0x2????f(x)?15W(x)?10x?20xW(x)?依题意,又?50x,?,2?x?5?1?x?75x2?30x?225,0?x?2?f?x??750x∴?.?30x,2?x?5??1?x:..【小问2详解】1当0?x?2时,f(x)?75x2?30x?225,开口向上,对称轴为x?,5?1??1??f(x)0,,2在??上单调递减,在??上单调递增,?5??5??f(x)?0,2?f?2??465在上的最大值为.?25?25当2?x?5时,f?x??780?30?1?x?780?30?2??1?x??480,???1?x?1?x25当且仅当?1?x时,即x??xf?x??480.∵465?480,∴当x?4时,max∴当投入的肥料费用为40元时,?f?x?y?f?x?,函数的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,y?f?x?P?a,b?有同学发现可以将其推广为:函数的图象是关于点的中心对称图形的充要条件是函数y?f?x?a???x???x?R?的对称中心;(1)求函数2x?11g?x?mx??5,6?x??0,2?g?x??f?x?m(2)函数??,若对任意,都存在,使得,求实数的取x1212值范围.?1?【答案】(1)0,???2??22??13??,??,(2)?????35??3010?【解析】h?x??f?x?a??bh??x??h?x??0【分析】(1)构造函数,由列方程组,?x??0,2?(2)先求得在区间上的值域,根据“任意”、“存在”以及绝对值不等式的知识列不等式,从而求得m的取值范围.【小问1详解】f?x??a,b?假设的图象存在对称中心,:..1则h?x??f?x?a??b??b的图象关于原点中心对称,2x?a?111h?x?h??x??h?x???b??b?0因为的定义域为R,所以恒成立,2?x?a?12x?a?1?12b??2x?a2?x?a?22b2b22a0即???????恒成立,?a?0?1?2b?0?所以?,解得?1,2?2b?2b?22a?0b????2?1?f?x?0,.所以的图象存在对称中心???2?【小问2详解】1?11??0,2??0,2?函数f?x???x?R?在区间上单调递减,其在区间上值域为,,2x1?52?????11?11???x??5,6?g?x?,?g?x??x?5,6由题可知,?,?52?52??111111111??m???m????m??由得或;5x25x22x511111111??m?????m???x??5,6?即或对恒成立,5x2x2x5x1322所以?m?或??m??,301035?22??13?m?,??,.故的取值范围为?????35??3010?【点睛】判断一个函数是否是奇函数,首先考虑函数的定义域是否关于原点对称,然后利用定义:f??x???f?x?f??x??f?x??0,、恒成立问题,可以转化为值域问题来进行求解.?????xmx?1,m??x???1,1?f?x???1,1?(1)若m??1,写出函数在上的单调区间,并求在内的最小值;xf?x?m??f?x???1,1??Am(2)设关于对的不等式的解集为A,且,求实数的取值范围.?1??1??11?1f?x??1,?,1?,?【答案】(1)在区间??和??递减,在区间??递增;最小值为?2??2??22?4(2)m??2或m?0:..【解析】f?x?f?x?【分析】(1)先求得的解析式,然后求得的单调区间,?x?m??f?x???1,1??Am(2)对进行分类讨论,根据不等式的解集以及,列不等式来求得的取值范围.【小问1详解】??x2?x,x?0,f?x?x?1x?若m??1,则????x2?x,x?0,??1??1??11?f?x??1,?,1?,在区间??和??递减,在区间??递增;?2??2??22??1?11f?1??0f???f?x???1,1??,??,故在的最小值为.?2?44【小问2详解】f?x?m??f?x???1,1?由题可知在区间恒成立,f?x??x?mx?1?显然m?0,且为R上的奇函数,m?0f?x?f?x?m??f?x?①当时,为R上的增函数,此时恒有,符合题意;:..f??m??f?0??m?m?m?1??0②当m?0时,令x?0得:,所以,解得:m??1,或者m?0(舍去).x???1,0?f?x??x??mx?1?f?x?m??m?x?m?2??x?m?,(i)时,,f?x?m??f?x??m?x?m?2??x?m??x??mx?1??2mx2?2m2x?m3?m?0,m??12x2?2mx?m2?1?0h?x??2x2?2mx?m2?1,又,所以,令??2??2h?0??m2?1?0则h?1?m?2m?1?m?1?0,,m??1m??2h?x??0所以当时,即时,恒成立,2?m?m2当?2?m??1时,只要h??1?0,得?2?m??2,所以m??2.???2?2x??0,1?f?x??mx2?xf?x?m??m?x?m?2?x?m(ii)时,,,f?x?m??f?x??m?x?m?2??x?m???mx2?x???2m2x?m3?m?0∴,∴?2mx?m2?1?0,,m的取值范围为m??2或m?0.