2023年新高考数学一轮复习4-1 导数的概念、运算及导数的几何意义(真 精品.pdf

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】的内容，可以使用beplayapp体育下载的站内搜索功能，选择自己适合的beplayapp体育下载，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此beplayapp体育下载到您的设备，方便您编辑和打印。:..、运算及导数的几何意义(真题测试)一、单选题y?x11.(2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练****对于以下四个函数:①;②yx2;③y?x3;④y?.在x区间?1,2?上函数的平均变化率最大的是()A.①B.②C.③D.④2.(2020·全国·高考真题(理))函数f(x)?x4?2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为()??2x???2x??2x??2x?13.(2006·安徽·高考真题(理))若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直,则l的方程为()?y?3??4y?5??y?3??4y?3?04.(2019·全国·高考真题(文))曲线y=2sinx+cosx在点(π,–1)处的切线方程为()?y???1??y?2??1??y?2??1??y???1?052016··y?f?x?.(山东高考真题(文))若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y?f?x?()????x36.(2018·全国·高考真题(文))设函数f?x??x3??a?1?x2??x?为奇函数,则曲线y?f?x?在点?0,0?处的切线方程为()??????x?lnx,0?x?1,7.(2016·四川·高考真题(文))设直线l,l分别是函数f(x)={图象上点P,P-处的切线,12lnx,x?1,12l与l垂直相交于点P,且l,l分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是()1212A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)82022·f?x??x2?1g?x??2alnx?1.(四川省内江市第六中学模拟预测(文))若函数与的图象存在公共切线,则实数a的最大值为()、多选题9.(2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练****近两年为抑制房价过快上涨,政府出台了一系列以:..“限购、限外、限贷、限价”,提出多种方案,,?0,T?则在以下各种房产供应方案中,在时间内供应效率(单位时间的供应量)不是逐步提高的()...(2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中)若曲线f?x??xsinx?1在x?π处的切线与直线ax?2y?1?0互相垂直,则()Af??x??sinx?xcosxBf??x??sinx?xcosx..??π?????π11.(2022·广东·二模)吹气球时,记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V),r??V?rV为()(V)在0≤V≤3上的图象如图所示,若0≤V?V≤3,则下列结论正确的是()12r?1??r?0?r?2??r?1?A.?'?1??r'?2?1?02?1V?Vr?V??r?V?r?V??r?V??????V,V?,使得r??V??21??0?2?2012V?V2112.(2022·全国·高三专题练****已知a?0,b?0,直线y?x?a与曲线y?ex?1?2b?1相切,则下列不等式121成立的是()?B.???b??b?32三、填空题:..13.(2015·天津·高考真题(文))已知函数f?x??axlnx,x??0,???,其中a为实数,f??x?为f?x?的导函数,若f??1??3,.(2015·全国·高考真题(文))已知曲线y?x?lnx在点?1,1?处的切线与曲线y?ax2??a?2?x?1相切,则a=.(2020·全国·高考真题(文))曲线y?lnx?x?1的一条切线的斜率为2,.(2012·浙江·高考真题(文))定义::y=x2+a到直线l:y=x的距离等于C:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=、解答题17.(2022·浙江·高三专题练****已知f??x?是一次函数,x2f??x???2x?1?f?x??2,求f?x??8?18.(2021·全国·高三专题练****已知曲线y??2,??3?19.(2022·全国·高三专题练****已知曲线y?x3?x?2在点P处的切线l平行于直线4x?y?1?0,且点P在010第三象限.(1)求P的坐标;0(2)若直线l?l,且l也过切点P,.(2011·陕西·高考真题(理))如图,从点P(0,0)作x轴的垂线交曲线y?ex于点Q(0,1),曲线在Q点处111的切线与x轴交于点P,再从P作x轴的垂线交曲线于点Q,依次重复上述过程得到一系列点:P,Q;22211P,Q;;P,Q记P点的坐标为(x,0)(k?1,2,,n)22nnkk(1)试求x与x的关系(2?k?n)kk?1(2)求PQ?PQ??PQ1122nn121.(2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测(文))已知曲线f?x???x?1?lnx?x2?ax?b?a,b?R?x?1在2处的切线经过坐标原点.:..(1)求b的值;(2)若f?x??0,.(2020·北京·高考真题)已知函数f(x)?12?x2.(Ⅰ)求曲线y?f(x)的斜率等于?2的切线方程;y?f(x)(t,f(t))S(t)S(t)(Ⅱ)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为,求的最小值.:..、运算及导数的几何意义(真题测试)一、单选题y?x11.(2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练****对于以下四个函数:①;①yx2;①y?x3;①y?.在x区间?1,2?上函数的平均变化率最大的是()A.①B.②C.③D.④【答案】C【解析】【分析】分析求出四个函数的平均变化率,然后比较即可.【详解】1?y2?1?y4?1?y8?1?1①??1,②??3,③??7,④?y21.?x2?1?x2?1?x2?1????x2?12故选:.(2020·全国·高考真题(理))函数f(x)?x4?2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为()??2x???2x??2x??2x?1【答案】B【解析】【分析】求得函数y?f?x?的导数f??x?,计算出f?1?和f??1?的值,可得出所求切线的点斜式方程,化简即可.【详解】f?x??x4?2x3,?f??x??4x3?6x2,?f?1???1,f??1???2,因此,所求切线的方程为y?1??2?x?1?,即y??2x?:.(2006·安徽·高考真题(理))若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直,则l的方程为()?y?3??4y?5??y?3??4y?3?0【答案】A【解析】【详解】:..与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0,即y?x4在某一点的导数为4,而y??4x3,所以y?x4在(1,1)处导数为4,此点的切线为4x?y?3?0,故选A4.(2019·全国·高考真题(文))曲线y=2sinx+cosx在点(π,–1)处的切线方程为()?y???1??y?2??1??y?2??1??y???1?0【答案】C【解析】【分析】先判定点(?,?1)是否为切点,再利用导数的几何意义求解.【详解】当x??时,y?2sin??cos???1,即点(?,?1)在曲线y?2sinx???2cosx?sinx,?y??2cos??sin???2,则y?2sinx?cosx在点(?,?1)处的切线方程为y?(?1)??2(x??),即x??2x?y?2??1?··y?f?x?.(山东高考真题(文))若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y?f?x?()????x3【答案】A【解析】【分析】若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则函数y=f(x)的导函数上存在两点,使这点的导函数值乘积为﹣1,进而可得答案.【详解】解:函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则函数y=f(x)的导函数上存在两点,使这点的导函数值乘积为﹣1,当y=sinx时,y′=cosx,满足条件;1当y=lnx时,y′?>0恒成立,不满足条件;x当y=ex时,y′=ex>0恒成立,不满足条件;当y=x3时,y′=3x2>0恒成立,不满足条件;故选A.:..6.(2018·全国·高考真题(文))设函数f?x??x3??a?1?x2??x?为奇函数,则曲线y?f?x?在点?0,0?处的切线方程为()??????x【答案】D【解析】【详解】分析:利用奇函数偶次项系数为零求得a?1,进而得到f(x)的解析式,再对f(x)求导得出切线的斜率k,:因为函数f(x)是奇函数,所以a?1?0,解得a?1,所以f(x)?x3?x,f'(x)?3x2?1,所以f'(0)?1,f(0)?0,所以曲线y?f(x)在点(0,0)处的切线方程为y?f(0)?f'(0)x,化简可得y?x,故选D.?lnx,0?x?1,7.(2016·四川·高考真题(文))设直线l,l分别是函数f(x)={图象上点P,P-处的切线,12lnx,x?1,12l与l垂直相交于点P,且l,l分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是()1212A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)【答案】A【解析】【详解】试题分析:设P?x,lnx?,P?x,?lnx?(不妨设x?1,0?x?1),则由导数的几何意义易得切线l,l的斜11122212121111k?,k??.kk??1,?xx?1,?x?.?ly?lnx??x?x?率分别为由已知得切线的方程分别为,1x2x12122x11x112111?1?ly?lnx???x?x?y?lnx??xx?切线的方程为,即??.分别令x?0得22x211x2??1A?0,?1?lnx?,B?0,1?lnx?.又l与l的交点为1112?2x1?x2?12x1?x2P?1,lnx?1?.x?1,?S?y?y?x?1?1?1,?0?S?1,?x211?x21?PAB2ABP1?x21?x2?PAB??11118.(2022·四川省内江市第六中学模拟预测(文))若函数f?x??x2?1g?x??2alnx?1与的图象存在公共切:..线,则实数a的最大值为()【答案】B【解析】【分析】??2?2???分别设公切线与fx?x?1和C:g(x)?2alnx?1的切点x,x?1,x,2alnx?1,根据导数的几何意义1122列式,再化简可得a?2x2?2x2lnx,再求导分析h(x)?2x2?2x2?lnx(x?0)的最大值即可222【详解】2a??f??x??2x,g??x??,设公切线与f?x??x2?1的图象切于点x,x2?1,与曲线C:g(x)?2alnx?1切于x11点?x,2alnx?1?,22???2?2a2alnx?1?x?12alnx?x22xxlnx?x2∴2x??21?21,故a?xx,所以2x?1221,∴x?2x?2x?lnx,1xx?xx?x121x?x**********∵a?xx,故a?2x2?2x2lnx,12222设h(x)?2x2?2x2?lnx(x?0),则h?(x)?2x(1?2lnx),h?x?(0,e)h(x)?h(e)?e∴在上递增,在(e,??)上递减,∴,max∴实数a的最大值为e故选:、多选题9.(2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练****近两年为抑制房价过快上涨,政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”,提出多种方案,,则在以下各种房产供应方案中,在时间?0,T?内供应效率(单位时间的供应量)不是逐步提高的()...:...【答案】ACD【解析】【分析】根据变化率的知识,结合曲线在某点处导数的几何意义,可得结果.【详解】单位时间的供应量逐步提高时,供应量的增长速度越来越快,图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大,则曲线是上升的,且越来越陡,,所以在时间[0,T]内供应效率(单位时间的供应量)不是逐步提高的是ACD选项,故选:.(2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中)若曲线f?x??xsinx?1在x?π处的切线与直线ax?2y?1?0互相垂直,则()??x??sinx???x??sinx???π?????π【答案】BCD【解析】【分析】由已知,选项A、选项B,可根据给出的曲线解析式直接求导做出判断,选项C,可将x?π带入求解出的f??x?中进行求解判断,选项D,根据求解出的f??π?结合直线方程的斜率,利用在x?π处的切线与直线互相垂直即可列出等量关系,求解出a的值.【详解】选项A,已知曲线f?x??xsinx?1,所以f??x??sinx?xcosx,故该选项错误;选项B,已知曲线f?x??xsinx?1,所以f??x??sinx?xcosx,故该选项正确;选项C,因为f??x??sinx?xcosx,所以f??π??sinπ?πcosπ?0?π??π,故该选项正确;:..a选项D,直线ax?2y?1?0的斜率为?,而f??π???π,由已知,曲线f?x??xsinx?1在x?π处的切线与2a2直线ax?2y?1?0互相垂直,所以?(?π)??1,所以a??,该选项正确;2π故选:.(2022·广东·二模)吹气球时,记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V),r??V?rV为()(V)在0≤V≤3上的图象如图所示,若0≤V?V≤3,则下列结论正确的是()12r?1??r?0?r?2??r?1?A.?'?1??r'?2?1?02?1V?Vr?V??r?V?r?V??r?V?????????V,V,使得r?V?21??0120?2?2V?V21【答案】BD【解析】【分析】r?1??r?0?r?2??r?1?A:设tan??,tan?=,由图得???,所以该选项错误;1?02?1B:r??1??r??2?根据图象和导数的几何意义得,所以该选项正确;3r(3)C:设V?0,V?3,r()?,所以该选项错误;1222D:结合图象和导数的几何意义可以判断该选项正确.【详解】r?1??r?0?r?2??r?1?r?1??r?0?r?2??r?1?解:A:设tan??,tan?=,由图得???,所以tan??tan?,所以?,1?02?11?02?1所以该选项错误;B:由图得图象上点的切线的斜率越来越小,根据导数的几何意义得r??1??r??2?,所以该选项正确;V?V3r?V??r?V?r(3)333r(3)??C:设V?0,V?3,?r12=r(),12?,因为r()?r(0)?r(3)?r(),所以r()?,所以12???2?2222222该选项错误;r?V??r?V?D:21A(V,r(V)),B(V,r(V))r??V?C(V,r(V))表示两点之间的斜率,表示处切线的斜率,由于V?V112200021:..V??V,V?,所以可以平移直线AB使之和曲线相切,切点就是点C,:BD12.(2022·全国·高三专题练****已知a?0,b?0,直线y?x?a与曲线y?ex?1?2b?1相切,则下列不等式成立的是()?B.???b??b?32【答案】AC【解析】【分析】利用导数的几何意义,求出a,b的关系,再结合均值不等式逐项分析、计算并判断作答.【详解】设直线y?x?a与曲线y?ex?1?2b?1相切的切点为(x,y),00由y?ex?1?2b?1求导得:y??ex?1,则有ex?1?1,解得x?1,00因此,y?1?a?2?2b,即a?2b?1,而a?0,b?0,011a?2b11对于A,ab??a?2b?()2?,当且仅当a?2b?时取“=”,A正确;2228221214ba4ba4ba1对于B,??(a?2b)(?)?4???4?2??8,当且仅当?,即a?2b?时取“=”,Bababababab2不正确;aa3336对于C,因(a?b)2?(?2b)2?a?b??2b?(a?2b)?,则有(a?b)2?,即a?b?,222222a?a?2b?12121当且仅当?2b,即a?4b时取“=”,由?得a?,b?,所以当a?,b?时,2?a?4b36366(a?b)?,C正确;max211对于D,由a?2b?1,a?0,b?0得,0?b?,a?b?1?b?(,1),而函数y?3x在R上单调递增,22因此,3?3a?b?3,:AC三、填空题:..13.(2015·天津·高考真题(文))已知函数f?x??axlnx,x??0,???,其中a为实数,f??x?为f?x?的导函数,若f??1??3,则a的值为_________.【答案】3【解析】f'(x)?alnx?a,所以f'(1)?a?.(2015·全国·高考真题(文))已知曲线y?x?lnx在点?1,1?处的切线与曲线y?ax2??a?2?x?1相切,则a=________.【答案】8【解析】【详解】1试题分析:函数y?x?lnx在(1,1)处的导数为y?|?1?|?2,所以切线方程为;曲线x?1xx?1y?ax2?(a?2)x?1的导函数的为,因与该曲线相切,可令,当时,曲线为直线,与直线平行,不符合题意;当时,代入曲线方程可求得切点,.(2020·全国·高考真题(文))曲线y?lnx?x?1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为______________.【答案】y?2x【解析】【分析】设切线的切点坐标为(x,y),对函数求导,利用y?|?2,求出x,代入曲线方程求出y,得到切线的点斜00x000式方程,化简即可.【详解】1设切线的切点坐标为(x,y),y?lnx?x?1,y???1,00x1y?|??1?2,x?1,y?2,所以切点坐标为(1,2),x?x0x000所求的切线方程为y?2?2(x?1),即y?:y?2x.:..16.(2012·浙江·高考真题(文))定义::y=x2+a到直线l:y=x的距离等于C:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=【答案】4【解析】【详解】试题分析:由新定义可知,直线与曲线相离,圆的圆心到直线的距离为,此时直线与圆相离,根据新定义可知,曲线到直线的距离为,对函数求导得,令,故曲线在处的切线方程为,即,于是曲线到直线的距离为,则有,解得或,当时,直线与曲线相交,不合乎题意;当时,直线与曲线相离,,.四、解答题17.(2022·浙江·高三专题练****已知f??x?x2f??x???2x?1?f?x??2f?x?是一次函数,,求的解析式.【答案】f?x??4x2?4x?2【解析】【分析】:..分析可知,函数f?x?为二次函数,可设f?x??ax2?bx?c?a?0?,根据导数的运算法则结合已知条件可得出关于a、b、c的方程组,解出这三个未知数的值,即可得出函数f?x?的解析式.【详解】由f??x?为一次函数可知f?x??x??ax2?bx?c?a?0?,则f??x??2ax????????2?????2?所以,xfx?2x?1fx?x2ax?b?2x?1ax?bx?c?2,?a?b?0?a?4??即?a?b?x2??b?2c?x?c?2?0,所以,b?2c?0,解得b?4,?????c?2?0?c?2因此,f?x??4x2?4x??8?18.(2021·全国·高三专题练****已知曲线y??2,??3?【答案】12x?3y?16?0或3x?3y?2?0.【解析】【分析】设出曲线过P点的切线方程的切点坐标,把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率,根据切点坐标和表示出的斜率,写出切线的方程,把P的坐标带入到切线方程即可得到关于切点横坐标的方程,求出方程的解即可得到切点横坐标的值,分别代入所设的切线方程即可.【详解】解:设切点坐标为?x,y?,切点在曲线上,00?在点?x,y?处切线的斜率为k?y???x00?切线方程为y?y?x2?x?x?.000?8?y?x2?2?x?,?8?1????000??3又切线过点P?2,?,且切点x,y在曲线y?x3上??整理得x3?3x2?4?0,即?3?003100?y?x3,????030?x?2?2?x?1??0,00解得x?2或x??:..8?当x?2,y?,即切线斜率为4时,切线的方程为12x?3y?16?0;0031当x??1,y??,即切线斜率为1时,切线的方程为3x?3y?2?,所求切线方程为12x?3y?16?0或3x?3y?2?.(2022·全国·高三专题练****已知曲线y?x3?x?2在点P处的切线l平行于直线4x?y?1?0,且点P在010第三象限.(1)求P的坐标;0(2)若直线l?l,且l也过切点P,【答案】(1)(?1,?4);(2)x?4y?17?0.【解析】【分析】(1)设点P(x,y),求出给定函数的导数,再利用导数的几何意义,(2)求出直线l的斜率,由(1)的结论结合直线的点斜式方程求解作答.(1)由y?x3?x?2求导得:y??3x2?1,设切点P(x,y),而点P在第三象限,即x?0,y?0,000000依题意,3x2?1?4,解得:x??1,此时,y??4,显然点(?1,?4)不在直线4x?y?1?0上,000所以切点P的坐标为(?1,?4).0(2)1直线l?l,而l的斜率为4,则直线l的斜率为?,1141又l过切点P(?1,?4),于是得直线l的方程为y?4??(x?1),即x?4y?17?0,04所以直线l的方程为:x?4y?17?.(2011·陕西·高考真题(理))如图,从点P(0,0)作x轴的垂线交曲线y?ex于点Q(0,1),曲线在Q点处111的切线与x轴交于点P,再从P作x轴的垂线交曲线于点Q,依次重复上述过程得到一系列点:P,Q;22211P,Q;;P,Q记P点的坐标为(x,0)(k?1,2,,n)22nnkk:..(1)试求x与x的关系(2?k?n)kk?1(2)求PQ?PQ??PQ1122nn【答案】(1)x?x?1?2?k?n?kk?1e?e1?n(2)e?1【解析】【详解】(1)根据函数的导数求切线方程,然后再求切线与x轴的交点坐标;(2)尝试求出通项PQ的表达式,然nn后再求和.(1)设点P的坐标是(x,0),∵y?ex,∴y??ex,k?1k?1∴Q(x,exk?1),在点Q(x,exk?1)处的切线方程是y?exk?1?exk?1(x?x),k?1k?1k?1k?1k?1令y?0,则x?x?1(2kn).kk?1(2)∵x?0,x?x??1,∴x??(k?1),1kk?1k∴PQ?exk?e?(k?1),于是有kk1?e?ne?e1?nPQ?PQ?PQ??PQ?1?e?1?e?2??e?(k?1)??,112233nn1?e?1e?1e?e1?n即PQ?PQ?PQ??PQ?.112233nne?1121.(2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测(文))已知曲线f?x???x?1?lnx?x2?ax?b?a,b?R?x?1在2处的切线经过坐标原点.(1)求b的值;(2)若f?x??0,【答案】(1)b?2(2)?1,???:..【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义可求得f?x?在x?1处的切线方程,代入坐标原点即可求得b;?1?13(2)采用分离变量的方式可得a?g?x??1?lnx?x?,利用导数可求得g?x?单调性,由此可得???x?22xg?x??1a,(1)x?11f??x??lnx??x?a,?f??1??1?a,又f?1????a?b,x21?f?x?在x?1处的切线为:y??a?b??1?a??x?1?,213又该切线过原点,??a?b??1?a,解得:b?.22(2)13由(1)得:f?x???x?1?lnx?x2?ax?,f?x?定义域为?0,???;22?1?13若f?x??0恒成立,则a?1?lnx?x?;???x?22x?1?13?2lnx?x2?2x?1令g?x??1?lnx?x?,则g??x??;???x?22x2x2?2?2x?x?1令h?x???2lnx?x2?2x?1,则??;h?x??x2恒成立,?h??x??0,?h?x?在?0,???上单调递减,x?x?1?0又h?1??0,?当x??0,1?时,h??x??0;当x??1,???时,h??x??0;?g?x?在?0,1?上单调递增,在?1,???上单调递减,13?g?x??g?1?????1?a?1a?1,???.,,即的取值范围为max2222.(2020·北京·高考真题)已知函数f(x)?12?x2.(Ⅰ)求曲线y?f(x)的斜率等于?2的切线方程;(Ⅱ)设曲线y?f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.【答案】(Ⅰ)2x?y?13?0,(Ⅱ)32.【解析】【分析】(Ⅰ)根据导数的几何意义可得切点的坐标,然后由点斜式可得结果;:..(Ⅱ)根据导数的几何意义求出切线方程,再得到切线在坐标轴上的截距,进一步得到三角形的面积,最后利用导数可求得最值.【详解】(Ⅰ)因为f?x??12?x2,所以f??x???2x,设切点为?x,12?x?,则?2x??2,即,所以切点为?1,11?,x?10000由点斜式可得切线方程为:y?11??2?x?1?,即2x?y?13?0.(Ⅱ)[方法一]:导数法???2??2???显然t?0,因为y?fx在点t,12?t处的切线方程为:y?12?t??2tx?t,t2?12令x?0,得y?t2?12,令y?0,得x?,2t1??t2?12所以S?t???t2?12?,22|t|不妨设t?0(t?0时,结果一样),t4?24t2?1441144则S?t???(t3?24t?),4t4t11443(t4?8t2?48)所以S??t??(