2023年高考数学真题试卷(北京卷)附详细解答.pdf

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】的内容，可以使用beplayapp体育下载的站内搜索功能，选择自己适合的beplayapp体育下载，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此beplayapp体育下载到您的设备，方便您编辑和打印。:..2023年北京市高考数学试卷一、选择题:本题共10小题,每小题4分,?{x∣x?2?0},N?{x∣x?1?0},则M?N?()A.{x∣?2?x?1}B.{x∣?2?x?1}C.{x∣x??2}D.{x∣x?1},复数z对应的点的坐标是(?1,3),则z的共轭复数z?()??3iC.?1?3iD.?1?,b满足a?b?(2,3),a?b?(?2,1),则|a|2?|b|2?()A.?2B.?,在区间(0,??)上单调递增的是()(x)??(x)?(x)??(x)?3|x?1|x?1??的展开式中x的系数为().???x?A.?80B.?:y2?8x的焦点为F,??3的距离为5,则|MF|?()?ABC中,(a?c)(sinA?sinC)?b(sinA?sinB),则?C?()?0,则“x?y?0”是“???2”的():..,,,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,?25m,BC?AD?10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形14所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为,则该五面体的所有棱长之和为()?a?a??a?6?3?6(n?1,2,3,),则()nn?14na?3?a?M≤,为递减数列,且存在常数,使得a?M恒成立1nna?5?a?M?6a?,为递增数列,且存在常数,使得恒成立1nna?7?a?M?,为递减数列,且存在常数,使得a?M恒成立1nna?9?a?M?0a?,为递增数列,且存在常数,使得恒成立1nn二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分.?1?(x)?4x?logx,则f????2?(?2,0)和(2,0),离心率为2,:若?,?为第一象限角,且???,则tan??tan?.能说明p为假命题的一组?,?的值为??__________,??,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物?a?体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列,该n数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a?1,a?12,a?192,则a?1597?a?___________;:..?x?2,x??a,?????0,函数f(x)??a2?x2,?a?x?a,,给出下列四个结论:???x?1,x?a.?①f(x)在区间(a?1,??)上单调递减;②当a?1时,f(x)存在最大值;????????????③设Mx,fxx?a,Nx,fxx?a,则|MN|?1;111222????????????④设Px,fxx??a,Qx,fxx??|PQ|存在最小值,则a的取值范333444?1?围是?0,.??2?、解答题:本题共6小题,、,在三棱锥P?ABC中,PA?平面ABC,PA?AB?BC?1,PC?3.(1)求证:BC?平面PAB;(2)求二面角A?PC?B的大小.?π?(x)?sin?xcos??cos?xsin???0,|?|?.???2?3(1)若f(0)??,求??π2π??2π?(2)已知f(x)在区间?,上单调递增,f???1,再从条件①、条件①、条件①这三???33??3??,?个条件中选择一个作为已知,使函数f(x)存在,求的值.:..?π?条件①:f???2;?3??π?条件①:f?????1;?3??ππ?条件①:f(x)在区间?,?上单调递减.???23?注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,-++0---++0+0--+-+00+天第21天到第400++0---++0+0+---+0-+天用频率估计概率.(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率;(2),试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率;(3)“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明):??1(a?b?0)的离心率为,A、C分别是E的上、下顶点,B,Da2b23分别是E的左、右顶点,|AC|?4.(1)求E的方程;(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y??:MN//CD.:..(x)?x?x3eax?b,曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y??x?1.(1)求a,b的值;(2)设函数g(x)?f?(x),求g(x)的单调区间;(3)求f(x)的极值点个数.?a?,?b?(m?2)a,b?{1,2,,m},?a?,?b?,且的前n项nnnnnnA,BA?B?0k??0,1,2,,m?和分别为,,定义nn00r?max?i∣B?A,i?{0,1,2,,m}?,其中,(1)若a?2,a?1,a?3,b?1,b?3,b?3,求r,r,r,r的值;1231230123(2)若a?b,且2r?r?r,j?1,2,,m?1,,求r;11jj?1j?1np,q,s,t??0,1,2,,m?p?q,s?t,A?B?A?B(3)证明:存在,、选择题:本题共10小题,每小题4分,,:由题意,M?{x∣x?2?0}?{x|x??2},N?{x∣x?1?0}?{x|x?1}根据交集的运算可知,MN?{x|?2?x?1}.故选::z在复平面对应的点是(?1,3),根据复数的几何意义,z??1?3i由共轭复数的定义可知,z??1?::向量a,b满足a?b?(2,3),a?b?(?2,1)所以|a|2?|b|2?(a?b)?(a?b)?2?(?2)?3?1??1.:..故选:?lnx?0,???y??x?0,???解:对于A,因为在上单调递增,在上单调递减f?x???lnx?0,???所以在上单调递减,故A错误;??1??对于B,因为y?2x在0,??上单调递增,y?在0,??上单调递减x1f?x???0,???所以在上单调递减,故B错误;2x1??y??x??对于C,因为y?在0,??上单调递减,在0,??上单调递减x1f?x????0,???所以在上单调递增,故C正确;x111???1????对于D,因为f?32?32?3,f1?31?1?30?1,f2?32?1?3???2?f?x??3x?1?0,???显然在上不单调,:?1?5?1?r解:2x?的展开式的通项为T?Cr?2x?5?r????1?r25?rCrx5?2r?????x?r?15?x?5令5?2r?1得r?215????2所以2x?的展开式中x的系数为?125?2C2?80??x5??故选::y2?8xF?2,0?x??2C解:因为抛物线的焦点,准线方程为,点M在上所以M到准线x??2的距离为MF又M到直线x??3的距离为5所以MF?1?5,故MF?::..解:因为(a?c)(sinA?sinC)?b(sinA?sinB)所以由正弦定理得(a?c)(a?c)?b(a?b),即a2?c2?ab?b2a2?b2?c2ab1则a2?b2?c2?ab,故cosC???2ab2ab2π又0?C?π,所以C?.3故选::因为xy?0,且???2yxx2?y2??2xyx2?y2?2xy?0?x?y?2?0x?y?,即,即,所以xy所以“x?y?0”是“???2”::如图,过E做EO?平面ABCD,垂足为O,过E分别做EG?BC,EM?AB,垂足分别为G,M,连接OG,OM由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为?EMO和?EGO14所以tan?EMO?tan?EGO?.5因为EO?平面ABCD,BC?平面ABCD,所以EO?BC因为EG?BC,EO,EG?平面EOG,EO?EG?E所以BC?平面EOG,因为OG?平面EOG,所以BC?OG同理:OM?BM,又BM?BG,故四边形OMBG是矩形所以由BC?10得OM?5,所以EO?14,所以OG?5EOG??2所以在直角三角形中,EG?EO2?OG2?14?52?39:..EBG??2在直角三角形中,BG?OM?5,EB?EG2?BG2?39?52?8又因为EF?AB?5?5?25?5?5?15所有棱长之和为2?25?2?10?15?4?8?:??a?6?3?6a?6??a?6?3解:因为,故n?14nn?14n对于A,若a?3,可用数学归纳法证明:a?6??3即a?31nn证明:当n?1时,a?6??3??3,此时不等关系a?3成立;1n设当n?k时,a?6??3成立k1?27?a?6??a?6?3??54,?a?6??3则??,故成立k?14k?4?k?1由数学归纳法可得a??1?a?a??a?6?3??a?6???a?6??a?6?2?1而??n?1n4nnn?4n?195?a?6?2?1??1??0a?6?0a?a?0a?a,,故,故4n44nn?1nn?1n?a?a?6??3?0故为减数列,注意nk?1119a?6??a?6?3??a?6???a?6?2??a?6?a?6?0故,结合n?14nn4n4nn?19?9?n?1?9?n?16?a??6?a?6?a?3a?6?3所以,故??,故??n?14nn?14n?14?????9?n?1若存在常数M≤0,使得a?M恒成立,则6?3?Mn???4?6?M9n?16?M??故?,故n?1?log,故a?M恒成立仅对部分n成立??93n3?4?,若a5,可用数学归纳法证明:?1?a?6?0即5?a?61nn证明:当n?1时,?1?a?6??1?0,此时不等关系5?a?6成立;1n:..设当n?k时,5?a?6成立k1?1?a?6??a?6?3??,0?1?a?6?0则??,故成立即k?14k?4?k?1由数学归纳法可得5?a??11?1?a?a??a?6?3??a?6???a?6??a?6?2?1而??n?1n4nnn?4n?1?a?6?2?1?0a?6?0a?a?0a?a?a?,,故,故,故为增数列4nnn?1nn?1nn若M?6,则a?6恒成立,,当a?7时,可用数学归纳法证明:0?a?6?1即6?a?71nn证明:当n?1时,0?a?6?1,此时不等关系成立;1设当n?k时,6?a?7成立k1?1?a?6??a?6?3?0,0?a?6?16?a?7则??,故成立即k?14k?4?k?1k?1由数学归纳法可得6?a??1?a?a??a?6??a?6?2?1?0a?a?a?而??,故,故为减数列n?1nn?4n?n?1nn11a?6??a?6???a?6?2??a?6?a?6?0又,结合可得:n?1n4n4nn?11n1n????a?6??a?6?,所以a?6?????n?11?4?n?1?4??1?n若a?6?,若存在常数M?6,使得a?M恒成立??nn?14??1n????n?logM?6则M?6?恒成立,故,n的个数有限,矛盾,故C错误.??1?4?4对于D,当a?9时,可用数学归纳法证明:a?6?3即a?91nn证明:当n?1时,a?6?3?3,此时不等关系成立;1设当n?k时,a?9成立k:..127a?6??a?6?3??3a?9则,故成立k?14k4k?1由数学归纳法可得a??1?a?a??a?6??a?6?2?1?0a?a?a?而??,故,故为增数列n?1nn?4n?n?1nn19a?6??a?6???a?6?2??a?6?a?6?0又,结合可得:n?1n4n4nn9n?19n?19n?1??????a?6??a?6??3,所以a?6?3??????n?11?4??4?n?1?4?9n?1??若存在常数M?0,使得a?M恒成立,则M?6?3n???4??9?n?1?M?6?故M?6?3,故n?log???1,这与n的个数有限矛盾,故D错误.??9?4??3?4故选:、填空题:本题共5小题,每小题5分,:函数f(x)?4x?logx,所以f()?42?log?2?1?:1x2y212.??122解:令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a,b,显然双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,其半焦距c?2c由双曲线C的离心率为2,得?2,解得a?2,则b?c2?a2?2ax2y2所以双曲线C的方程为??:??1229ππ13.①①43:..?π?πf?x??tanx0,0?????tan??tan?解:因为在??上单调递增,若,则?2?00200??2kπ??,??2kπ??,k,k?Z取102012tan??tan?2kπ????tan?,tan??tan?2kπ????tan?tan??tan?则,即100200k?k?????2kπ?????2kπ????2?k?k?π??????令,则1210201200π3π因为2?k?k?π?2π,??????0,则????2?k?k?π????????01220012002即k?k,则???.12ππ9ππ不妨取k?1,k?0,??,??,即??,??:;.4314.①48①384解:设前3项的公差为d,后7项公比为q?0a192q4?9??16q?0q2则,且,可得a125aa?1?2d?51?2d?3d?1则,即,可得3q2空1:可得a?3,a?aq4?48373?7?31?2空2:a?a??a?1?2?3?3?2?????3?26?3??3841291?215.②③解:依题意,a?0x??af?x??x?2当时,,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线;?a?x?af?x??a2?x2?0,0?ax当时,,易知其图像是,圆心为,半径为的圆在轴上方的图像(即半圆);x?af?x???x?1当时,,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线;1a?f?x?对于①,取,则的图像如下2:..?1??1?x?(a?1,??)x??,??f?x??,0显然,当,即??时,在??上单调递增,故①错误;?2??2?对于②,当a?1时x??af?x??x?2??a?2?1当时,;当?a?x?a时,f?x??a2?x2显然取得最大值a;x?af?x???x?1??a?1??2当时,f?x?a综上:取得最大值,故②正确;对于③,结合图像,易知在x?a,x?a且接近于x?a处,12M?x,f?x???x?a?,N?x,f?x???x?a?的距离最小111222x?ay?f?x??0x?ax?ay?f?x???a?1当时,,当且接近于处,11222此时,MN?y?y?a?1?1,故③正确;124a?f?x?对于④,取,则的图像如下5:..????????????因为Px,fxx??a,Qx,fxx??a333444?4?PQf?x??x?2x??Q结合图像可知,要使取得最小值,则点P在??上,点在?5?16?44?f?x???x2??x???25?55??4?PQOf?x??x?2x??a同时的最小值为点到??的距离减去半圆的半径?5??4?f?x??y?x?2x??k??1OP此时,因为??的斜率为1,则,故直线的方程为?5?OPy??x?y??x?x??1P??1,1?联立?,解得?,则?y?x?2?y?1?4?P??1,1?f?x??x?2x??PQ显然在??上,满足取得最小值?5?4?1?即a?也满足PQ存在最小值,故a的取值范围不仅仅是?0,,故④错误.?5?2?故答案为:②③.三、解答题:本题共6小题,、.(1)证明见解析π(2)3【小问1详解】因为PA?平面ABC,BC?平面ABC:..所以PA?BC,同理PA?AB所以PAB为直角三角形又因为PB?PA2?AB2?2,BC?1,PC?3所以PB2?BC2?PC2,则PBC为直角三角形,故BC?PB又因为BC?PA,PAPB?P所以BC?平面PAB.【小问2详解】由(1)BC?平面PAB,又AB?平面PAB,则BC?AB以A为原点,AB为x轴,过A且与BC平行的直线为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系如图则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0)所以AP?(0,0,1),AC?(1,1,0),BC?(0,1,0),PC?(1,1,?1)????m?AP?0PACm??x,y,z?设平面的法向量为,则?111m?AC?0?????z?0,?1x?1y??1m?(1,?1,0)即令,则,所以x?y?0,11?11????n?BC?0?y?0??x,y,z??2设平面的法向量为,则,即?222n?PC?0x?y?z?0?????222令x?1,则z?1,所以n?(1,0,1)22:..m?n11cosm,n???所以mn2?22又因为二面角A?PC?B为锐二面角π所以二面角A?PC?.(1)???.3π(2)条件①不能使函数f(x)存在;条件②或条件①可解得??1,???.6【小问1详解】π因为f(x)?sin?xcos??cos?xsin?,??0,|?|?23所以f(0)?sin???0?cos??cos???0?sin??sin???2ππ因为|?|?,所以???.23【小问2详解】π因为f(x)?sin?xcos??cos?xsin?,??0,|?|?2πf(x)?sin??x???,??0,|?|?f(x)1所以,所以的最大值为,最小值为??π?f(x)?sin??x???f?2若选条件①:因为的最大值为1,最小值为?1,所以??无解?3?故条件①不能使函数f(x)存在;?π2π??2π??π?若选条件②:因为f(x)在?,上单调递增,且f???1,f?????1???33??3??3?T2π?π?2π所以??????π,所以T?2π,???123?3?Tf(x)?sin?x???所以?π??π?又因为f?????1,所以sin???????1?3??3?:..ππ所以??????2kπ,k?Z32π?π所以????2kπ,k?Z,因为|?|?,所以???.626π所以??1,???;6?π2π??ππ?若选条件③:因为f(x)在?,上单调递增,在?,?上单调递减?????33??23?π?π?所以f(x)在x??处取得最小值?1,即f??????3?以下与条件②.(1)(2)(3)不变【小问1详解】根据表格数据可以看出,40天里,有16个?,也就是有16天是上涨的16根据古典概型的计算公式,农产品价格上涨的概率为:?【小问2详解】在这40天里,有16天上涨,14天下跌,10天不变,也就是上涨,下跌,,,,2天上涨,1天下跌,1天不变的概率是C2??C1???【小问3详解】由于第40天处于上涨状态,从前39次的15次上涨进行分析,,.(1)??194(2)证明见解析【小问1详解】:..c55依题意,得e??,则c?aa33又A,C分别为椭圆上下顶点,AC?4,所以2b?4,即b?254所以a2?c2?b2?4,即a2?a2?a2?4,则a2?999x2y2所以椭圆E的方程为??【小问2详解】x2y2A?0,2?,C?0,?2?,B??3,0?,D?3,0?因为椭圆E的方程为??1,所以94m2n2EP?m,n??0?m?3,0?n?2???1因为P为第一象限上的动点,设,则940?222易得k???,则直线BC的方程为y??x?2BC?3?033n?0nnk??PDy??x?3?,则直线的方程为PDm?3m?3m?3?2?3?3n?2m?6?y??x?2x????3?3n?2m?6联立?,解得?,即n?12n?y??x?3??y?????m?3????3n?2m?6?3?3n?2m?6??12n?M?,??3n?2m?63n?2m?6?n?2n?2n?2而k??,则直线PA的方程为y?x?2PAm?0mmn?2?4m??4m?令y=?2,则?2?x?2,解得x?,即N,?2??mn?2?n?2?:..m2n29n2又??1,则m2?9?,8m2?72?18n2944?12n?2?????6n?4m?12n?23n?2m?6所以k??MN3?3n?2m?6??9n?6m?18??n?2??4m?3n?2m?6??4m?3n?2m?6n?2?6n2?4mn?8m?24?6n2?4mn?8m?24??9n2?8m2?6mn?12m?369n2?72?18n2?6mn?12m?36?2??6n2?4mn?8m?242?3n?2mn?4m?122????9n2?6mn?12m?36?2?33?3n?2mn?4m?120?22又k??,即k?kCD3?03MNCD显然,MN与CD不重合,所以MN//.(1)a??1,b?1(2)答案见解析(3)3个【小问1详解】????因为f(x)?x?x3eax?b,x?R,所以f?x?1?3x2?ax3eax?bf?x?(1,f(1))y??x?1因为在处的切线方程为所以f(1)??1?1?0,f?(1)??1????1?13?ea?b?0?a??1则?,解得?1??3?a?ea?b??1b?1?????所以a??1,b?1.【小问2详解】?????23??x?1??由(1)得gx?f?x?1?3x?xex?R????2??x?1则gx??xx?6x?6e令x2?6x?6?0,解得x?3?3,不妨设x?3?3,x?3?3,则0?x?x1212易知e?x?1?0恒成立.:..g??x??00?x?xg??x??0所以令,解得或x?x;令,解得x?0或x?x?x;1212g?x??0,x??x,??????,0??x,x?所以在,上单调递减,在,上单调递增1212????g?x?0,3?33?3,?????,0?即的单调递减区间为和,单调递增区间为和??3?3,3?3.【小问3详解】3?x?1??????23??x?1由(1)得f(x)?x?xex?R,fx?1?3x?xef??x??0,x??x,??????,0??x,x?由(2)知在,上单调递减,在,上单调递增1212f???1??1?4e2?0f??0??1?0f???1?f??0??0当x?0时,,,即f??x????,0?x?1?x?0所以在上存在唯一零点,不妨设为,则33x?xf??x??0f?x?x?x?0f'(x)?0f?x?此时,当时,,则单调递减;当时,,则单调33递增;f?x????,0?所以在上有一个极小值点;x??0,x?f??x??0,x?当时,在上单调递减11??????f??x??f?3?3?f??1??1?2?0f?0f?x?0则,故11f??x??0,x?x0?x?x所以在上存在唯一零点,不妨设为,则14410?x?xf'(x)?0f?x?x?x?xf??x??0f?x?此时,当时,,则单调递增;当时,,则441单调递减;f?x??0,x?所以在上有一个极大值点;1x??x,x?f??x??x,x?当时,在上单调递增1212??f??x??f?3?3?f??3??1?0f??x?f??x??0则,故212f??x??x,x?xx?x?x所以在上存在唯一零点,不妨设为,则125152x?x?xf??x??0f?x?x?x?xf??x??0f?x?此时,当时,,则单调递减;当时,,则1552单调递增;:..f?x??x,x?所以在上有一个极小值点;12x?x?3?3?33x2?x3?x2?3?x??0当时,2???23??x?1??所以f?x?1?3x?xe?0,则fx单调递增f?x??x,???所以在上无极值点;2f?x????,0??x,x??0,x?综上:在和上各有一个极小值点,在上有一个极大值点,.(1)r?0,r?1,r?1,r?20123(2)r?n,n?Nn(3)证明见详解【小问1详解】由题意可知:A?0,A?2,A?3,A?6,B?0,B?1,B?4,B?701230123当k?0时,则B?A?0,B?A,i?1,2,3,故r?0;00i00当k?1时,则B?A,B?A,B?A,i?2,3,故r?1;0111i11当k?2时,则B?A,i?0,1,B?A,B?A,故r?1;i222322当k?3时,则B?A,i?0,1,2,B?A,故r?2;i3333综上所述:r?0,r?1,r?1,r?【小问2详解】由题意可知:r?m,且r?Nnn因为a?1,b?1,则A?a?1,B?b?1,当且仅当n?1时,等号成立nnn1n1所以r?0,r?101又因为2r?r?r,则r?r?r?r,即r?r?r?r?????r?r?1ii?1i?1i?1iii?1mm?1m?1m?210可得r?r?1i?1i反证:假设满足r?r?1的最小正整数为1?j?m?1n?1n当i?j时,则r?r?2;当i?j?1时,则r?r?1i?1ii?1i:..r??r?r???r?r???????r?r??r?2?m?j??j?2m?j则mmm?1m?1m?2100r?2m?j?2m??m?1??m