08直线与圆圆与圆位置关系.doc

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)=2+22+12=17,又R+r=2+3=5,|R-r|=1,∴|R-r|0,:由于圆心(0,1)到直线l的距离d=|m|<1<5,故直线l与圆订交,+1解法三:直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),由于点(1,1)在圆C:x2+(y-1)2=5的内部,.[答案]A【例2圆的切线问题】平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()+y+5=0或2x+y-5=+y+5=0或2x+y-5=-y+5=0或2x-y-5=-y+5=0或2x-y-5=0[剖析]设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m≠1),由于直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为5,因此|m|=5,5|m|=+y+5=0或2x+y-5=0.[答案]A【例3圆的弦长问题】设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0订交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为________.[剖析]圆C的方程可化为x2+(y-a)2=a2+2,可得圆心的坐标为C(0,a),半径r=a2+2,因此圆心到直线x-y+2a=0的距离为|-a+2a||a|,因此|a|3)2==2+(222(a2+2)2,解得a2=2,因此圆C的半径为2,因此圆C的面积为4π.[答案]4π【例4圆的最值问题】在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.[剖析]解法一:设A(1,0),由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1),,,半径为|AP|=2-12+-1-02=(x-1)2+y2=2.|m+1|m2+2m+1解法二:设圆的半径为r,依照直线与圆相切的关系得r=1+m2=m2+1=2m1+2,m+1当m<0时,1+2m2<1,故1+2m2无最大值;m+1m+1当m=0时,r=1;当m>0时,m2+1≥2m(当且仅当m=1时取等号).因此r≤1+1=2,即rmax=2,故半径最大的圆的方程为(x-1)2+y2=2.[答案](x-1)2+y2=2【例5两圆的地点关系】(1)[2016·山东高考]已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=:(x-1)2+(y-1)2=1的地点关系是( )[剖析]由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,由于圆M截直线x+y=0所得线段的长度为22,因此圆心M到直线x+y=0的距离d=|a|=a2-2(a>0),解得a=2,2又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,因此|MN|=2,则R-r<20)的公共弦的长为23,则a=________.[剖析]两圆的方程相减,得公共弦所在的直线方程为(x2+y2+2ay-6)-(x2+y2)=04?y=1,又a>0,联合图形,利用半径、弦长的一半及弦心距所组成的直角三角形,可a知1=22-32=1?a=[答案]1【知识点1】直线与圆的地点关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)相离相切订交图形量方程见解化几何见解<0d>r=0d=r>0dr1+r2d=r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|0,:由于圆心(0,1)到直线l的距离d=|m|<1<5,故直线l与圆订交,+1解法三:直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),由于点(1,1)在圆C:x2+(y-1)2=5的内部,.[答案]A【例2圆的切线问题】平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()+y+5=0或2x+y-5=+y+5=0或2x+y-5=-y+5=0或2x-y-5=-y+5=0或2x-y-5=0[剖析]设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m≠1),由于直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为5,因此|m|=5,5|m|=+y+5=0或2x+y-5=0.[答案]A【例3圆的弦长问题】设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0订交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为________.[剖析]圆C的方程可化为x2+(y-a)2=a2+2,可得圆心的坐标为C(0,a),半径r=a2+2,因此圆心到直线x-y+2a=0的距离为|-a+2a|=|a|,因此|a|2+(3)2=222(a2+2)2,解得a2=2,因此圆C的半径为2,因此圆C的面积为4π.[答案]4π【例4圆的最值问题】在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.[剖析]解法一:设A(1,0),由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1),,,半径为|AP|=2-12+-1-02=(x-1)2+y2=,依照直线与圆相切的关系得r=|m+1|m2+2m+1解法二:设圆的半径为1+m2=m2+1=2m1+m2+1,当m<0时,1+2m2<1,故1+2m2无最大值;m+1m+1当m=0时,r=1;当m>0时,m2+1≥2m(当且仅当m=1时取等号).因此r≤1+1=2,即rmax=2,故半径最大的圆的方程为(x-1)2+y2=2.[答案](x-1)2+y2=2【例5两圆的地点关系】(1)[2016·山东高考]已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=:(x-1)2+(y-1)2=1的地点关系是( )[剖析]由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,由于圆M截直线x+y=0所得线段的长度为22,因此圆心M到直线x+y=0的距离d=|a|=a2-2(a>0),解得a=2,2又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,因此|MN|=2,则R-r<20)的公共弦的长为23,则a=________.[剖析]两圆的方程相减,得公共弦所在的直线方程为(x2+y2+2ay-6)-(x2+y2)=01-4?y=a,又a>0,联合图形,利用半径、弦长的一半及弦心距所组成的直角三角形,可1知a=22-32=1?a=1.[答案](a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的地点关系是( )(a,b)在圆O:x2+y2=1外,因此a2+b2>1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d=|a·0+b·0-1|12<=2a+ba+,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4订交于A、B两点,则弦AB的长等于()+y2=4的圆心(0,0),半径为2,则圆心到直线3x+4y-5=0的距5离d=32+42=|AB|=2r2-d2=24-1=,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是( )A.[1-3,1+3]B.(-∞,1-3]∪[1+3,+∞)C.[2-22,2+22]D.(-∞,2-22]∪[2+22,+∞)答案D剖析圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0的距离为|m+n|=1,因此m+12+n+1212或m+n≤2-m+n+1=mn≤(m+n)2,整理得[(m+n)-2]2-8≥0,解得m+n≥2+=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4订交于M,N两点,若|MN|≥23,则k的取值范围是()A..-3,0B.-3,3433C.[-3,3]D.-2,03答案B剖析如图,设圆心C(2,3)到直线y=kx+3的距离为d,若|MN|≥23,则d2=r2-12≤4-3=1,即|2k|2332|MN|1+k2≤1,解得-3≤k≤:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若圆C1与圆C2相外切,则实数m=( )A.-5B.-5或2C.-,配方得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,则圆C11122(-1,m),半径r2的圆心C(m,-2),半径r=3,圆C的圆心C=,那么有121+r2,即m+12+m+22=5,则m2+与圆C|CC|=r3m-10=0,解得m=-5或m=2,因此当m=-5或m=2时,⊙O:x2+y2=5与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)订交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,|OO1|=1|AB||5+20=5,且△OO1A是直角三角形,S△OO1A=·2·|OO12=11|=2×5×251|,因此|AB|=2·|OA|·|AO=·|OA|·|AO|OO1|5【知识点1】直线与圆的地点关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)相离相切订交图形量方程见解化几何见解<0d>r=0d=r>0dr1+r2d=r1+r2121212d=|r-r|d<|r-r|0?订交,鉴别式(1)代数法:――→2=0?相切,=b-4ac<0?:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:dr?、直线与圆综合问题的解题策略l(1)用几何法求圆的弦长:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则22=r2-,第一要判断此点与圆的地点关系,若点在圆内,无解;若点在圆上,有一解;若点在圆外,,一般是依照条件列出对于所求目标的式子——函数关系式,尔后依照函数关系式的特点采用参数法、配方法、鉴别式法等,、怎样办理两圆的地点关系判断两圆的地点关系常常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项获取.【经典例题剖析】【典例】一条光芒从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光芒所在直线的斜率为( )A.-5或-3B.-3或-235235443C.-4或-5D.-3或-4[解题视点]入射点对于y轴的对称点在反射光芒所在直线上,用点斜式表示出反射光芒所在直线的方程,依照圆心到反射光芒的距离获取直线的斜率k.[剖析]圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为C(-3,2),半径r=,作出点A(-2,-3)对于y轴的对称点B(2,-3).由题意可知,,则反射光芒所在直线的方程为y-(-3)=k(x-2),即kx-y-2k-3=|k-3-2-2k-3|=1,即|5k+5|=1+k2,整理得12k2+25k1+k212=0,即(3k+4)(4k+3)=0,解得k=-43或k=-.[答案]D答题启迪光芒的反射问题拥有入射角等于反射角的特点,这样就有两种对称关系,一是入射光芒与反射光芒对于过反射点且与反射轴垂直的直线法线对称,二是入射光芒与反射光芒所在直线对于反射轴对称.【变式】若自点P(-3,3)发出的光芒l经x轴反射,其反射光芒所在的直线与圆C:x2+y2-4x-4y+7=0相切,:圆C的圆心坐标为(2,2),,入射光芒所在直线的斜率k不存在时不符合题意,故可设入射光芒所在直线的方程为y-3=k(x+3),则反射光芒所在直线的斜率k′=-k,点P对于x轴的对称点P′(-3,-3)在反射光芒所在的直线上,故反射光芒所在直线的方程为y+3=-k(x+3),该直|2k+2+3+3k|34线应与圆相切,故得=1,因此12k2+25k+12=0,解得k=-4或k=-.1+k23因此所求直线l的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=:以以下图,设圆C对于x轴对称的圆为圆C′,则圆C′的圆心坐标为(2,-2),-3=k(x+3),则该直线与圆C′相切,近似解法一可得直线l的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是( )A.[-3,-1]B.[-1,3]C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)答案C剖析由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为2,|a-0+1|≤2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤+-:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+4=0的公切线有( ):(x+1)2+(y+1)2=4,∴圆心C1(-1,-1),半径r1=2;圆C2:(x-2)2(y-1)2=1,∴圆心C2(2,1),半径r2=1.∴两圆心的距离d=-1-22+-1-12=13,r1+r2=3,∴d>r1+r2,∴两圆外离,∴+y-1=0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°获取直线l,则直线l与圆(x+3)2+y2=4的地点关系是(),直线l的方程是y=tan150°(x-1)=-33(x-1),即x+3y-1=0,圆心(-3,0)到直线l的距离d=|-3-1|=2,+,半径为5的圆C位于y轴左侧,且被直线x+2y=0截得的弦长为4,则圆C的方程是()A.(x-5)2+y2=5B.(x+5)2+y2=5C.(x-5)2+y2=5D.(x+5)2+y2=5答案B|a+2×0|剖析设圆心为(a,0)(a<0),由于截得的弦长为4,因此弦心距为1,则d=12+22=1,解得a=-5,因此,所求圆的方程为:(x+5)2+y2==x+1上的一点向圆x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为(),在Rt△PAB中,要使切线PB最小,只要圆心与直线y=x+1上的点的