关于列车餐饮价格问题的数学建模实训论文.doc

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10数学与信息科学学院数学建模实训论文ofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilitiesofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilities2ofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilities摘要本文通过分析火车上盒饭和方便面的销售情况,对实际火车上快餐销售进行摸拟,根据价格与销售量的关系,运用供求理论建立微分方程模型,求解微分方程,从理论上求解出盒饭和方便面的销售量与价格之间的函数关系。再利用数学公式:效益销售量单价,计算出火车快餐销售的最大利润。对于此题,先找出盒饭和方便面销售量与价格之间的函数关系。设和分别为价格上涨时,盒饭和方便面的销售量减少率,和是盒饭和方便面的本钱价,根据微分方程模型,得到盒饭销售量与价格的函数关系:,同理,亦可得出方便面销售量与价格的函数关系:。故总收入为:由于盒饭和方便面的销售量减少率和是未知的,首先假设和是固定值,可以根据总收入的函数公式求出一个最大利润。而根据实际情况,价格较低时,销售量减少率较小;然后随着价格的增大,销售量减少率也增大,直到价格增大到一定程度时,销售量减少率趋于稳定,由此利用一个分段函数表示出价格与销售量减少率之间的关系。根据该分段函数与总收入的函数,最终确定收入和价格的函数关系:,从而得出适宜的盒饭价格为12元 ,,。数学与信息科学学院数学建模实训论文ofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilitiesofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilities4ofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilities关键词:火车快餐、微分方程、供求理论、销售量减少率一、问题重述长途列车由于时间漫长,列车需要为旅客提供一天三餐。由于火车上各方面的本钱高,因此车上食物的价格也略高。T238次哈尔滨到广州的列车,每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜,价格10元;中午及晚上为盒饭,价格一律15元。由于价格偏贵,乘客一般自带食品如方便面、面包等。而且列车容量有限,因此提供的用餐量及食品也是有限的,适当提高价格是正常的,但不能高得过头。假设车上有乘客1000人,其中500人有在车上买饭的要求,但车上盒饭每餐只能供给200人;另外,车上还可提供每餐100人的方便面。根据实际情况设计一个价格方案,使列车在用餐销售上效益最大。二、问题分析根据需求的定义以及我们自然的认识,商品价格越低,人们的需求量越大,因此,我们可以把需求函数近似的看做向右下方倾斜的曲线,也就是价格与需求量之间存在着反向变动的关系,即,在其他条件不变的情况下,需求量随着价格的上升而减少,随着价格的下降而增加。火车提供快餐只是火车的次营业务,因此火车运行商不可能把精力都投放到快餐的供给上来,而且火车车厢容量有限,这样火车快餐供给量根本上是稳定的。但是火车乘客的数量较大,他们对快餐的需求量大大超过了火车快餐的供给量。这样在市场价格情况下,就造成了火车快餐的供不应求。人们对火车快餐的需求量大于其供给量,如果火车快餐保持原价的话,就会出现争抢的局面,而且不利于火车运营商获取超额利润。在这种情况下,火车运营商一方面为了获取超额利润,另一方面为了火车平安稳定的运行,他都要将价格提高。随着价格的慢慢提高,从收入低的旅客们开始慢慢地减少对火车快餐的需求。火车快餐价格提的越高,人们的需求量越小,直到到达供给与需求的均衡点,这样就造成了火车上快餐的价格远远的高于市场上快餐的价格。而选择消费火车快餐的群体一般是那些收入较高或中等收入的群体数学与信息科学学院数学建模实训论文ofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilitiesofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilities4ofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilities。三、问题假设列车上每餐只提供盒饭和方便面两种食物。每位乘客每餐只需要一盒盒饭或一袋方便面。火车快餐每餐的本钱是固定不变的。四、符号说明单个盒饭的价格单袋方便面的价格盒饭价格上涨时,销售量减少率方便面价格上涨时,销售量减少率盒饭价格为时,每餐盒饭销售量方便面价格为时,每餐方便面销售量总收入固定本钱五、:因为在火车上,餐饮量不会受到外界太多影响,所以每餐的餐饮销售量不会有太大偏差,所以只考虑一顿饭的总收入;且每餐本钱稳定为,这样要求最大收益只需考虑一顿饭的最大收入即可。1、首先找出销售量与价格之间的函数关系:当盒饭的价格由上涨到时,销售量的减少量为对上式整理得:数学与信息科学学院数学建模实训论文ofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilitiesofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilities5ofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilities当为盒饭本钱价时,因为此时需求量大于供给量,故而所有的盒饭都卖光,此时,于是建立方程组:解方程组〔〕得盒饭销售量与价格之间的函数关系:大体图像如下:图1盒饭价格与销售量的关系同理,可以求得方便面销售量与价格之间的关系:当为方便面本钱价时,,于是有:上式的图像大致为:数学与信息科学学院数学建模实训论文ofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilitiesofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilities6ofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilities图2方便面价格与销售量的关系注:〔〕和〔〕式中的和分别表示盒饭和方便面的本钱价,在此假设,。那么固定本钱。2、求出销售量与价格之间的函数关系后再求一顿饭的总收入。总收入=价格×销售量将〔〕和〔〕式代入〔〕式得:要想求总收入的最大值可以分别求出盒饭、方便面的收入最大值和。对〔〕和〔〕式分别求收入对价格的导数:时;时当时,,那么单调递增;当时,,那么单调递减,所以时到达最大点。同理时到达最大点。由此要确定最大收入,就要知道销售量减少率,求列车快餐的最大收入,可以运用调查问卷的形式来确定销售量减少率和的值。例如:假设盒饭销售量减少率,那么制定盒饭价格,此时盒饭收入最大元;同样方便面销售量减少率,那么制定方便面价格,此时方便面收入最大元。最大利润=最大收入-固定本钱,得最大利润=2923-=2923-2300=623元。数学与信息科学学院数学建模实训论文ofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilitiesofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilities7ofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,:由〔〕和〔〕式知总收入与快餐的价格及减少率有关。因为不同的消费者对于商品价格的承受能力是不同的,即不同的价格对应的销售量减少率是不同的。所以下面讨论价格与减少率之间的关系。要确定价格上涨时对销售量减少率的影响,就要考虑消费者的需求和购置行为及价格上涨时消费者的承受能力。由于价格较低时,可以承受的消费者人数较多,此时减少率较小;而当价格慢慢上升超出大局部消费者承受价格的范围,人数减少的速度增快,即减少率增大;当价格增大到一定程度时,所能消费者的承受能力根本稳定,减少率趋于稳定。根据分析可画出减少率与价格的大致图像:图3价格与减少率的关系假设价格与减少率之间存在函数关系:根据实际假设当盒饭价格为本钱价时,盒饭全部卖出,那么盒饭的销售量减少率;当盒饭价格时,减少率到达最大值;当时,将稳定不再发生变化,如下列图:图4盒饭价格与减少率的关系数学与信息科学学院数学建模实训论文ofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilitiesofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilities8ofruraldrinkingwatersources,pletewithwarningsigns,workprotectionfacilities从而得,,所以同样假设当方便面价格为本钱价时,方便面全部卖出,那么方便面的销售量减少率;当方便面价格时,减少率到达最大;当时,将稳定不再发生变化,如下列图:图5方便面价格与减少率的关系从而得:,所以将〔〕式代入〔〕式得:将〔〕式代入〔〕得: