微波仿真论坛 第02章平面电磁波.doc

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(2-2-1)因,代入上式,得即(2-2-2)由此可见,磁场强度仅具有y分量。这是因为电场强度仅与z有关,因而磁场也仅与z有关,所以磁场不可能具有z分量。又知电场与磁场处处垂直,因此,若,则。既然与的关系由式(2-2-2)确定,我们仅需求解,然后由式(2-2-2)即可确定。由前节得知,电场强度分量满足齐次标量亥姆霍兹方程式(2-1-2a),考虑到,得31 (2-2-3)这是一个二阶常微分方程,其通解为 (2-2-4)式中第一项代表沿正z方向传播的波,第二项代表沿负z方向传播的波。为了便于讨论平面波的波动特性,仅考虑沿正z方向传播的波,令上式第二项为零,即 (2-2-5)式中为处电场强度的有效值。对应的瞬时值为 (2-2-6)式中称为时间相位。传播常数kc为复数,令 (2-2-7)代入式(2-1-2)中,得 (2-2-8a) (2-2-8b)将式(2-2-7)代入式(2-2-5)中,得 (2-2-9)式中第一个指数项表示电场强度的振幅随z增加按指数规律不断衰减,第二个指数项表示空间的相位变化。因此,称为相位常数,单位为rad/m;称为衰减常数,单位为Np/m。可见,在的平面上,各点空间相位相等,因此该电磁波的波面为平面,故称为平面波。此外,在的波面上,各点场强的振幅也相等,因此这种平面波称为均匀平面波。已知z方向为传播方向,可见无论电场或磁场均与传播方向垂直,即对于传播方向而言,电场及磁场仅具有横向分量,因此这种电磁波称为横电磁波,或称为TEM波。ic的缩写。上述均匀平面波是TEM波,只有非均匀平面波才可形成非TEM波,但是TEM波也可以是非均匀平面波。我们已知金属波导只能传输传播方向上具有电场或磁场纵向分量的非TEM波,即TM波(横磁波)或TE波(横电波),且两者均为非均匀平面波。32将式(2-2-9)代入式(2-2-2)中,得 (2-2-10)时间相位变化2p所经历的时间称为电磁波的周期,以T表示,而一秒内相位变化2p的次数称为频率,以f表示。那么由的关系式,得 (2-2-11)空间相位(k￠z)变化2p所经过的距离称为波长,以l表示。那么由关系式,得 (2-2-12)由上可见,电磁波的频率描述相位随时间的变化特性,而波长描述相位随空间的变化特性。由式(2-2-12)又可得 (2-2-13)空间相位变化相当于一个全波,k￠的大小又可衡量单位长度内具有的全波数目,所以k￠又称为波数。有的学者还将k￠称为空间频率[22]。根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度,相位速度又简称为相速,以vp表示。令常数,得,则相位速度vp为 (2-2-14)此式表明,平面波的相速不仅与介质参数有关,而且还与频率有关。我们已知,携带信号的电磁波总是具有很多频率分量的,由于各个频率分量的电磁波以不同的相速传播,经过一段距离传播后,电磁波中各个频率分量之间的相位关系将必然发生改变,导致信号失真,这种现象称为色散,因此这种介质又称为色散介质。已知,将式(2-2-13)代入式(2-2-14),得 (2-2-15)此式描述了平面波的相速vp,频率f与波长l之间的关系。平面波的频率是由波源决定的,它与源的频率始终相同,但是平面波的相速与介质特性有关。因此,平面波的波长与介质特性有关。将式(2-2-8a)代入式(2-2-12)中,得 (2-2-16)33电场强度与磁场强度的振幅之比称为波阻抗,以Zc表示,即 (2-2-17)可见,平面波的波阻抗为复数,电场强度与磁场强度的空间相位不同。既然电场强度与磁场强度的相位不同,复能流密度的实部及虚部均不会为零,这就意味着平面波在传播过程中,既有单向流动的传播能量,又有来回流动的交换能量。如果空间介质是理想的,即,那么上述等效介电常数、传播常数、相位速度、波长、波阻抗等传播参数公式简化为 (2-2-18) (2-2-19) (2-2-20) (2-2-21) (2-2-22)可见,平面波在理想介质中传播时,上述传播参数均为实数。电场强度与磁场强度的相位相同,相位速度与频率无关。因此,理想介质为非色散介质,复能流密度矢量只有实部,虚部为零,电磁能量只有单向传播。考虑到真空的介电常数为,磁导率为,得 (2-2-23) (2-2-24) (2-2-25)式(2-2-23)中为真空中的光速。考虑到一切介质相对介电常数,又通常相对磁导率,因此,理想介质中均匀平面波的相速通常小于真空中的光速。但应注意,电磁波的相速有时可以超过光速,可见,相速不一定代表能量传播速度[5]。34式(2-2-24)中是频率为f的平面波在真空中传播时的波长。式(2-2-24)表明,,即平面波在介质中的波长小于真空中波长。这种现象称为波长缩短效应,或简称为缩波效应。埋入地中或浸入水内的天线,必须考虑这种缩波效应。此外,微带电路及微带天线可以利用这种缩波效应减小设备的尺寸。式(2-2-25)中,称为真空波阻抗。可见一般介质的波阻抗小于真空波阻抗。上述均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可用矢量形式表示为 (2-2-26)或者写为 (2-2-27)上述两式描述了均匀平面波的电场强度与磁场强度之间的关系。因此,若知其一,即可利用此式直接简便地求出另一个场量。复能流密度矢量Sc为 (2-2-28)已知均匀平面波的波面是无限大的平面,而波面上各点的场强振幅又均匀分布,因而波面上各点的能流密度相同,可见这种均匀平面波具有无限大的能量。因此,实际中不可能存在这种均匀平面波。但是,当观察者离开波源很远时,因波面很大,若观察者仅限于局部区域,则可以近似作为均匀平面波。此外,由第5,6章可见,利用空间傅立叶变换,可将非平面波展开为很多平面波之和。因此,着重讨论均匀平面波具有重要的理论价值和实际意义。2-3 平面波的极化特性前面讨论平面波的传播特性时,认为平面波的场强方向与时间无关,实际中有些平面波的场强方向随时间按一定的规律变化。电场强度的方向随时间变化的规律称为平面波的极化特性。2-3-1线极化平面波设某一平面波的电场强度仅具有x分量,且沿正z方向传播,则其瞬时值可表示为 (2-3-1)显然,在空间任一固定点,电场强度矢量的端点随时间的变化轨迹为与x轴平行的直线,因此,这种平面波的极化特性称为线极化,其极化方向为x方向。设另一同频率的平面波的电场强度仅具有y分量,也沿正z方向传播,其瞬时值为 (2-3-2)显然,这是一个y方向极化的线极化平面波。上述两个相互正交的线极化平面波Ex及Ey具有不同振幅,但具有相同的相位,它们合成后,其瞬时值的大小为36 (2-3-3)此式表明,合成波的大小随时间的变化仍为正弦函数,合成波的方向与x轴的夹角a为EyExEyxaO图2-3-1线极化波 (2-3-4)可见,合成波的极化方向与时间无关,电场强度矢量端点的变化轨迹是与x轴夹角为a的一条直线。因此,合成波仍然是线极化波,如图2-3-1所示。由上可见,两个相位相同,振幅不等的空间相互正交的线极化平面波,合成后仍然形成一个线极化平面波。反之,任一线极化波可以分解为两个相位相同,振幅不等的空间相互正交的线极化波。显然,两个相位相反的线极化波合成后,其合成波也是一个线极化波。但是,合成波的极化方向位于2、4象限。2-3-2圆极化平面波若上述两个线极化波的相位比线极化波的相位滞后,但振幅皆为,即则合成波瞬时值的大小为 (2-3-5)合成波矢量与x轴的夹角a为即(2-3-6)EyExEyxa0左旋右旋图2-3-2圆极化波由此可见,对于某一固定的z点,夹角a为时间t的函数。电场强度矢量的方向随时间不断地旋转,但其大小不变,因此,合成波的电场强度矢量的端点轨迹为一个圆,这种变化规律称为圆极化,如图2-3-2所示。式(2-3-6)表明,当t增加时,夹角a不断地增加,合成波矢量随着时间的旋转方向与传播方向构成右旋关系,这种圆极化波称为右旋圆极化波。若比导前,则合成波矢量与x轴的夹角。可见,对于空间任一固定点,夹角a随时间增加而减小,合成波矢量随着时间的旋转方向与传播方向构成左旋关系,因此,这种圆极化波称为左旋圆极化波。由上可见,两个振幅相等,相位相差的空间相互正交的线极化波,合成后形成一个圆极化波。反之,一个圆极化波也可以分解为两个振幅相等,相位相差36的空间相互正交的线极化波。读者可以证明,一个线极化波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波,反之亦然。2-3-3椭圆极化平面波若上述两个相互正交的线极化波Ex和Ey具有不同振幅及不同相位,即 (2-3-7a) (2-3-7b)则合成波的Ex分量及Ey分量满足下列方程 (2-3-8)这是一个椭圆方程,它表示对于空间任一点,即固定的z值,合成波矢量的端点轨迹是一个椭圆,因此,这种平面波称为椭圆极化波,如图2-3-3所示。ayxE当时,Ey分量比Ex分量滞后,合成波矢量反时针旋转与传播方向形成右旋椭圆极化波;当时,合成波矢量顺时旋转,与传播方向形成左旋椭圆极化波。利用坐标系旋转,可以证明,椭圆轨迹的长轴与x轴的夹角a为图2-3-3椭圆极化波 (2-3-9)可见,夹角a与时间无关。为了证明上式,可令椭圆的长轴及短轴分别为坐标轴及,如图2-3-3所示。那么,在坐标系中,上述椭圆极化波的及分量满足的方程为 (2-3-10)可见,在处,可令上述椭圆极化波分量及分别为 (2-3-11a) (2-3-11b)已知在xy坐标平面内,z=0处的及分量由式(2-3-7)求得 (2-3-12a)38 (2-3-12b)考虑到 (2-3-13)将式(2-3-11)及式(2-3-12)代入式(2-3-13)中,得即由于上式对于任何均应成立,因此,等式两端的对应系数应该相等,即 (2-3-14a) (2-3-14b) (2-3-14c) (2-3-14d)将式(2-3-14b)与式(2-3-14c)相乘,可得 (2-3-15)将式(2-3-14a)与式(2-3-14d)相乘,可得 (2-3-16)那么,由式(2-3-15)及式(2-3-16),求得将上式整理后,即得式(2-3-9)。前述的线极化波、圆极化波均可看作为椭圆极化波的特殊情况。由于各种极化波可以分解为线极化波的合成,因此,本章仅讨论线极化平面波的传播特性。电磁波在介质中的传播特性与其极化特性密切相关,电磁波的极化特性获得非常广泛的实际应用。例如,由于圆极化波穿过雨区时受到的吸收衰减较小,全天侯雷达宜用圆极化波。在无线通信中,为了有效地接收电磁波的能量,接收天线的极化特性必须与被接收电磁波的极化特性一致。在移动卫星通信和卫星导航定位系统中,由于卫星姿态随时变更,应该使用圆极化电磁波。远距离电磁波传播时发生的电平衰落统计特性同样也与电磁波的极化特性有关。在移动通信或微波通信中使用的极化分集接收技术,即是利用了极化方向相互正交的两个线极化波的电平衰落统计特性的不相关性,进行合成,以减少信号的衰落深度。此外,在微波设备中,有些器件的功能就是利用了电磁波的极化特性获得的,例如,铁氧体环行器及隔离器等。382-4平面边界上的反射和折射当平面波向平面边界上投射时,会发生反射与折射现象。为了讨论反射和折射规律,首先给出向任意方向传播的平面波表示式。2-4-1任意方向传播的平面波向任意方向传播的平面波可以表示为 (2-4-1)式中k称为传播矢量,其大小等于传播常数k,其方向为传播方向;r为空间任一点的位置矢量。若传播矢量k与坐标轴x,y,z的夹角分别为a,b,g,则传播方向可表示为 (2-4-2)则(2-4-3)若令 (2-4-4a) (2-4-4b) (2-4-4c)那么传播矢量k可表示为 (2-4-5)这样,电场强度又可表示为 (2-4-5)或者写 (2-4-6)由于,因此,应该满足 (2-4-7)可见,三个分量中只有两个是独立的。将式(2-4-1)代入麦克斯韦方程,且令外源,介质的电导率,读者可以证明,在无源区中向k方向传播的均匀平面波应该满足下列方程 (2-4-8a) (2-4-8b)